MathJaxがあまりにいいので，
調子に乗って書いてみる
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今日の実習は\\10.2.???.???\disk1\2012\2-?\rep122006にあります。
Sheet1
等差数列\(\{ a_n \}\)において，
初項172, 第10項が100とする。
(1) 初項からの和が初めて負になるのは第何項か。
(2) 初項からの和が最大になるのは第何項か。
また，その和を求めよ。
この問題を解いて，EXCELで確かめてみよう。
数列\(\{ a_n \}\)において，
初項から第\(n\)項までの和を\(S_n\)とする。
すなわち、\(S_n=\displaystyle{\sum_{k=1}^n a_n}\)
和というものはどんな数列にも考えることができるものだから、
ここで、しっかり考察することにする。
この式は和を大域的に定義しているが、局所的・帰納的に見る。
それは、\(\{S_n\}\)を数列とみるとき、
\(S_1=a_1\), \(S_n=S_{n-1}+a_n\)と和をとらえるのである。
実際，\(S_{n-1}=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_{n-2}+a_{n-1}\)
\(S_{n}=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_{n-2}+a_{n-1}+a_n\)なのだから。
数列\(\{ a_n \}\)において，
隣接2項の差をとったものを階差と呼ぶ。
すなわち、この数列の階差数列の第\(k\)項は、
\(b_k=a_{k+1}-a_k\)
階差数列というものはどんな数列にも考えることができるものだから、
ここで、しっかり考察することにする。
この式で\(k\)を走らせて足し合わせれば、
\(b_1+b_2+b_3+\cdots+b_{n-2}+b_{n-1}
=(a_2-a_1)+(a_3-a_2)+(a_4-a_3)+\cdots+(a_{n-1}-a_{n-2})+(a_{n}-a_{n-1})\)
i.e. \(\displaystyle{a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1} b_k}\)
時刻\(t\)における位置が\(t\)の関数で表されているとする。
例えば、\(f(t)=4.9t^2\)とする。
時刻\(t\)の単位を秒として、\(t=1\)から0.5秒間の平均の速さ(位置の変化率)は、
\(\dfrac{f(1.5)-f(1)}{0.5}\)で求めることができる。
0.5秒ごとに位置を記録した数列を考えると、平均の速さは階差数列を時間で割ったものと見ることができる。
\(t=1\)から\(h\)秒間の平均の速さは、
\(\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}\)で求めることができる。
一般に，時刻\(a\)から\(h\)秒間の平均の速さ(位置の変化率)は、
\(\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\)で求めることができる。
(1) EXCELでこの例の0.5秒ごとの平均の速さを計算させてみよう。
(2) この例の任意の\(h\)秒ごとの平均の速さを計算させてみる。
\(h\)をどんどん小さくしていってみよう。
(3) 時刻\(t\)の瞬間の速さはどうなると予想されるか。
また，それを式で説明せよ。
(4) この例の任意の\(h\)秒ごとの速さの変化率を計算させてみよう。