120611

MathJaxがあまりにいいので，調子に乗って書いてみる
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数列\(\{ a_n \}\)において，階差数列\(\{b_n\}\)をEXCELを使って求めてみよう。

数列\(\{ a_n \}\)において，階差数列\(\{b_n\}\)から\(a_n\)をEXCELを使って求めてみよう。

階差数列

数列\(\{ a_n \}\)において，
隣接2項の差をとったものを階差と呼ぶ。

すなわち、この数列の階差数列の第\(k\)項は、 \(b_k=a_{k+1}-a_k\)

この式で\(k\)を走らせて足し合わせれば、
\(b_1+b_2+b_3+\cdots+b_{n-2}+b_{n-1} =(a_2-a_1)+(a_3-a_2)+(a_4-a_3)+\cdots+(a_{n-1}-a_{n-2})+(a_{n}-a_{n-1})\)
i.e. \(\displaystyle{a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1} b_k}\)

微分の考え

時刻\(t\)における位置が\(t\)の関数で表されているとする。
例えば、\(f(t)=25-0.49t^2\)とする。
時刻\(t\)の単位を秒として、\(t=1\)から0.5秒間の平均の速さ(位置の変化率)は、 \(\dfrac{f(1.5)-f(1)}{0.5}\)で求めることができる。
0.5秒ごとに位置を記録した数列を考えると、平均の速さは階差数列を時間で割ったものと見ることができる。
\(t=1\)から\(h\)秒間の平均の速さは、 \(\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}\)で求めることができる。

一般に，時刻\(a\)から\(h\)秒間の平均の速さ(位置の変化率)は、 \(\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\)で求めることができる。

(1) EXCELでこの例の0.5秒ごとの平均の速さを計算させてみよう。

(2) この例の任意の\(h\)秒ごとの平均の速さを計算させてみる。 \(h\)をどんどん小さくしていってみよう。

(3) 時刻\(t\)の瞬間の速さはどうなると予想されるか。また，それを式で説明せよ。

(4) この例の任意の\(h\)秒ごとの速さの変化率を計算させてみよう。

積分の考え

時刻\(t\)における速度が\(t\)の関数で表されているとする。
例えば、\(v(t)=15-9.8t\)とする。ここから時刻\(t\)における位置を求めてみよう。
時刻\(t\)の単位を秒として、\(t=1\)から0.5秒間の移動距離は \(v(1)\cdot 0.5\)とみなすことにする。
0.5秒ごとに速度を記録した数列を考えると、位置はこれを階差数列として時間をかけたものの和と見ることができる。
\(t=1\)から\(h\)秒間の移動距離は、 \(v(1)\cdot h\)とみなすことにする。

一般に，時刻\(a\)から\(h\)秒間の移動距離は、 \(v(a)\cdot h\)とみなすことにする。
したがって，時刻\(t\)のときの位置\(f(t)\)は， \(\displaystyle{f(t)=f(0)+\sum_{k=0}^{n-1}v\left(kh\right)\cdot h}\) で表される。(リーマン和)
ここで，\(n\)は時刻0から時刻\(t\)までの分割数, また\(h=\dfrac{t}{n}\)

(1) EXCELでこの例の0.5秒ごとの移動距離および位置を計算させてみよう。

(2) この例の任意の\(h\)秒ごとの移動距離および位置を計算させてみる。 \(h\)をどんどん小さくしていってみよう。

(3) 時刻\(t\)の位置はどうなると予想されるか。また，それを式で説明せよ。