MathJaxがあまりにいいので，
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例の問題集にこんな問題があって， ある生徒が解答をもってきた。
平面上に三角形OABがあり，
OA=5, OB=6, AB=7である。
\(s\), \(t\)を実数とし，
点Pを\(\overrightarrow{\rm OP}=s\overrightarrow{\rm OA}+t\overrightarrow{\rm OB}\)
で定める。
(1) 三角形OABの面積を求めよ。
(2) \(s\), \(t\)が\(s\geqq 0\), \(t\geqq 0\), \(1\leqq s+t\leqq 2\)
を満たすとき，点Pの存在しうる部分の面積を求めよ。
(3) \(s\), \(t\)が\(s\geqq 0\), \(t\geqq 0\),
\(1\leqq 2s+t\leqq 2\), \(s+3t\leqq 3\),
を満たすとき，点Pの存在しうる部分の面積を求めよ。
終点の表す点であるが，
点Pを\(\overrightarrow{\rm OP}=s\overrightarrow{\rm OA}+t\overrightarrow{\rm OB}\)
で定める。
公式 (Hesseの標準形)
\(ms+nt=1\),
\(\overrightarrow{\rm OP}=s\overrightarrow{\rm OA}+t\overrightarrow{\rm OB}\)
を満たす点Pは
\(\overrightarrow{\rm OM}=\dfrac{1}{m}\overrightarrow{\rm OA}\),
\(\overrightarrow{\rm ON}=\dfrac{1}{n}\overrightarrow{\rm OB}\)となる点M, Nをとって，
直線MN上にある
例
\(s+t=1\),
\(\overrightarrow{\rm OP}=s\overrightarrow{\rm OA}+t\overrightarrow{\rm OB}\)
を満たす点Pは
直線AB上にある
さて，解答例を記述する。
\(\overrightarrow{\rm OA}=\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{\rm OB}=\overrightarrow{b}\)とする。
(1)
\(\left|\overrightarrow{\rm AB}\right|=7\)より
\(\left|\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}\right|=7\)
\(\left|\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}\right|^2=49\),
\(\left|\overrightarrow{a}\right|=5\),
\(\left|\overrightarrow{b}\right|=6\)から
\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=6\)
\(\triangle{\rm OAB}=\dfrac{1}{2}\sqrt{
\left|\overrightarrow{a}\right|^2
\left|\overrightarrow{b}\right|^2-
\left(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\right)^2}
=6\sqrt{6}\)
(2)
\(s\geqq 0\), \(t\geqq 0\)だから，
\(1=s+t\)は線分AB
\(s+t=2\)は，
\(\overrightarrow{{\rm O}{\rm A}_1}=2\overrightarrow{\rm OA}\),
\(\overrightarrow{{\rm O}{\rm B}_1}=2\overrightarrow{\rm OB}\)
なる\({\rm A}_1\), \({\rm B}_1\)をとって，
線分\({\rm A}_1{\rm B}_1\)
(2)の部分は台形\({\rm A}{\rm A}_1{\rm B}_1{\rm B}\)
求める面積は
三角形OABの3倍で\(18\sqrt{6}\)である。
(3)
\(s\geqq 0\), \(t\geqq 0\)だから，
\(1=2s+t\)は，
\(\overrightarrow{\rm OM}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{\rm OA}\)
なるMをとって，
線分MB
\(2s+t=2\)は，
線分\({\rm A}{\rm B}_1\)
\(s+3t=3\)は，
\(\overrightarrow{{\rm O}{\rm A}_2}=3\overrightarrow{\rm OA}\)
なる\({\rm A}_2\)をとって，
線分\({\rm A}_2{\rm B}\)
\({\rm A}{\rm B}_1\), \({\rm A}_2{\rm B}\)の交点をCとすると，
(3)の部分は四角形MACB
このとき，
\(\overrightarrow{\rm BC}=\dfrac{1}{5}\overrightarrow{{\rm B}{\rm A}_2}\)である。
なぜならば，
Cは\(2s+t=2\), \(s+3t=3\)を同時に満たすから
\((s,t)=\left(\dfrac{3}{5},\dfrac{4}{5}\right)\)
すなわち，
\(\overrightarrow{\rm OC}
=\dfrac{3}{5}\overrightarrow{a}+\dfrac{4}{5}\overrightarrow{b}\)で，
\(\overrightarrow{\rm BC}
=\dfrac{3}{5}\overrightarrow{a}-\dfrac{1}{5}\overrightarrow{b}\),
\(\overrightarrow{{\rm B}{\rm A}_2}
=3\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\)だから