120531 初版 120622 最新
MathJaxがあまりにいいので，
調子に乗って書いてみる
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\(\{a_n\}\)が等差数列，
\(\{b_n\}\)が等比数列のとき，
和\(\displaystyle{\sum_{k=1}^na_kb_k}\)を求めてみよう。
例えば\(S_n=\displaystyle{\sum_{k=1}^n(2k-1)\cdot 3^{k-1}}\)を求めてみる。
ポイントは\(U_n=\displaystyle{\sum_{k=1}^nk\cdot 3^{k-1}}\)をどう処理するかである。
\(3U_n=\displaystyle{\sum_{k=1}^nk\cdot 3^{k}}\)
\(=\displaystyle{\sum_{k=1}^n(k-1)\cdot 3^{k-1}}+n\cdot 3^n\)であるから，
\(3U_n-U_n=\displaystyle{-\sum_{k=1}^n3^{k-1}}+n\cdot 3^n\)より，
\(T_n=\displaystyle{\sum_{k=1}^n3^{k-1}}\)とおいて，
\(2U_n=n\cdot 3^n-T_n\)
\(S_n=2U_n-T_n=n\cdot 3^n-2\cdot \dfrac{1}{2}(3^n-1)=(n-1)\cdot 3^n+1\)
一般に\(U_n=\displaystyle{\sum_{k=1}^nk\cdot r^{k-1}}\)はどうなるかというと，
\(rU_n=\displaystyle{\sum_{k=1}^nk\cdot r^{k}}\)
\(=\displaystyle{\sum_{k=1}^n(k-1)\cdot r^{k-1}}+n\cdot r^n\)であるから，
\((r-1)U_n=\displaystyle{-\sum_{k=1}^nr^{k-1}}+n\cdot r^n\)より，
\(T_n=\displaystyle{\sum_{k=1}^nr^{k-1}}\)とおいて，
\((r-1)U_n=n\cdot r^n-T_n\)
\(U_n=\dfrac{1}{(r-1)^2}(n(r-1)-1)\cdot r^n+1)\)
\(=\dfrac{1}{(r-1)^2}(n\cdot r^{n+1}-(n+1)\cdot r^n+1)\)
やってることは教科書と同じだけど，初級者にはきついかな。
おとなになったらわかるかな。