三角関数の不等式

MathJaxがあまりにいいので，調子に乗って書いてみる
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$\sin \theta<\dfrac{1}{2}$ を解くときに，最初から一般解をイメージするといいようだ。一般解は難しいというのは素人の思い込みかな。
とりあえず，連続する一周期で解を見つけて，

$\dfrac{5}{6}\pi<\theta<\dfrac{13}{6}\pi$
したがって，一般解は

$n$ を整数として，

$\left(\dfrac{5}{6}+2n\right)\pi<\theta<\left(\dfrac{13}{6}+2n\right)\pi$

$0\leqq \theta <2\pi$ では，

$n$ に

$-1$ , 0を代入して，はみ出た部分を削れば，

$0\leqq \theta<\dfrac{\pi}{6}$ ,

$\dfrac{5}{6}\pi<\theta<2\pi$
一見こっちのほうがわかりにくいが，複雑な問題のときに威力を発揮する。

$\sin \left(\theta+\dfrac{\pi}{3}\right)<\dfrac{1}{2}$ を満たす

$\theta$ の値の範囲を求めよう。
一般解は

$n$ を整数として，

$\left(\dfrac{5}{6}+2n\right)\pi<\theta+\dfrac{\pi}{3}<\left(\dfrac{13}{6}+2n\right)\pi$
すなわち，

$\left(\dfrac{1}{2}+2n\right)\pi<\theta<\left(\dfrac{11}{6}+2n\right)\pi$

$0\leqq \theta <2\pi$ では，

$\dfrac{\pi}{2}<\theta<\dfrac{11}{6}\pi$

$\cos \left(\theta+\dfrac{\pi}{3}\right)<\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ を満たす

$\theta$ の値の範囲を求めよう。
一般解は

$n$ を整数として，

$\left(\dfrac{1}{4}+2n\right)\pi<\theta+\dfrac{\pi}{3}<\left(\dfrac{7}{4}+2n\right)\pi$
すなわち，

$\left(\dfrac{-1}{12}+2n\right)\pi<\theta<\left(\dfrac{17}{12}+2n\right)\pi$

$0\leqq \theta <2\pi$ では，

$0\leqq \theta<\dfrac{17}{12}\pi$ ,

$\dfrac{23}{12}\pi<\theta<2\pi$

$\sin \left(2\theta+\dfrac{\pi}{3}\right)>\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす

$\theta$ の値の範囲を求めよう。
一般解は

$n$ を整数として，

$\left(\dfrac{1}{3}+2n\right)\pi<2\theta+\dfrac{\pi}{3}<\left(\dfrac{2}{3}+2n\right)\pi$
すなわち，

$n\pi<\theta<\left(\dfrac{1}{6}+n\right)\pi$

$0\leqq \theta <2\pi$ では，

$0<\theta<\dfrac{\pi}{6}$ ,

$\pi<\theta<\dfrac{7}{6}\pi$

$\sin \left(2\theta+\dfrac{\pi}{3}\right)<\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす

$\theta$ の値の範囲を求めよう。
一般解は

$n$ を整数として，

$\left(\dfrac{2}{3}+2n\right)\pi<2\theta+\dfrac{\pi}{3}<\left(\dfrac{7}{3}+2n\right)\pi$
すなわち，

$\left(\dfrac{1}{6}+n\right)\pi<\theta<\left(1+n\right)\pi$

$0\leqq \theta <2\pi$ では，

$\dfrac{\pi}{6}< \theta<\pi$ ,

$\dfrac{7}{6}\pi< \theta<2\pi$

$\tan \left(\theta-\dfrac{\pi}{3}\right)<1$ を満たす

$\theta$ の値の範囲を求めよう。
一般解は

$n$ を整数として，

$\left(-\dfrac{1}{2}+n\right)\pi<\theta-\dfrac{\pi}{3}<\left(\dfrac{1}{4}+n\right)\pi$
すなわち,

$\left(\dfrac{-1}{6}+n\right)\pi<\theta<\left(\dfrac{7}{12}+n\right)\pi$

$0\leqq \theta <2\pi$ では，

$0\leqq\theta<\dfrac{7}{12}\pi$ または

$\dfrac{5}{6}\pi<\theta<\dfrac{19}{12}\pi$ または

$\dfrac{11}{6}\pi<\theta<2\pi$