120610の版
MathJaxがあまりにいいので，
調子に乗って書いてみる
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\(\sin \theta<\dfrac{1}{2}\)を解くときに，
最初から一般解をイメージするといいようだ。
一般解は難しいというのは素人の思い込みかな。
とりあえず，連続する一周期で解を見つけて，
\(\dfrac{5}{6}\pi<\theta<\dfrac{13}{6}\pi\)
したがって，
一般解は\(n\)を整数として，
\(\left(\dfrac{5}{6}+2n\right)\pi<\theta<\left(\dfrac{13}{6}+2n\right)\pi\)
\(0\leqq \theta <2\pi\)では，\(n\)に\(-1\), 0を代入して，はみ出た部分を削れば，
\(0\leqq \theta<\dfrac{\pi}{6}\),
\(\dfrac{5}{6}\pi<\theta<2\pi\)
一見こっちのほうがわかりにくいが，
複雑な問題のときに威力を発揮する。
\(\sin \left(\theta+\dfrac{\pi}{3}\right)<\dfrac{1}{2}\)
を満たす\(\theta\)の値の範囲を求めよう。
一般解は\(n\)を整数として，
\(\left(\dfrac{5}{6}+2n\right)\pi<\theta+\dfrac{\pi}{3}<\left(\dfrac{13}{6}+2n\right)\pi\)
すなわち，
\(\left(\dfrac{1}{2}+2n\right)\pi<\theta<\left(\dfrac{11}{6}+2n\right)\pi\)
\(0\leqq \theta <2\pi\)では，
\(\dfrac{\pi}{2}<\theta<\dfrac{11}{6}\pi\)
このように3行で不等式が解ける。
- 円などを使って\(\theta+\dfrac{\pi}{3}\)の一般の範囲を求めてしまう
ここで三角関数の問題としては終わり
- \(\theta\)についての不等式を解く
- \(n\)に適当な整数を代入して\(0\leqq\theta<2\pi\)に収める
\(\cos \left(\theta+\dfrac{\pi}{3}\right)<\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
を満たす\(\theta\)の値の範囲を求めよう。
一般解は\(n\)を整数として，
\(\left(\dfrac{1}{4}+2n\right)\pi<\theta+\dfrac{\pi}{3}<\left(\dfrac{7}{4}+2n\right)\pi\)
すなわち，
\(\left(\dfrac{-1}{12}+2n\right)\pi<\theta<\left(\dfrac{17}{12}+2n\right)\pi\)
\(0\leqq \theta <2\pi\)では，
\(0\leqq \theta<\dfrac{17}{12}\pi\),
\(\dfrac{23}{12}\pi<\theta<2\pi\)
\(\sin \left(2\theta+\dfrac{\pi}{3}\right)>\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
を満たす\(\theta\)の値の範囲を求めよう。
一般解は\(n\)を整数として，
\(\left(\dfrac{1}{3}+2n\right)\pi<2\theta+\dfrac{\pi}{3}<\left(\dfrac{2}{3}+2n\right)\pi\)
すなわち，
\(n\pi<\theta<\left(\dfrac{1}{6}+n\right)\pi\)
\(0\leqq \theta <2\pi\)では，
\(0<\theta<\dfrac{\pi}{6}\),
\(\pi<\theta<\dfrac{7}{6}\pi\)
\(\sin \left(2\theta+\dfrac{\pi}{3}\right)<\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
を満たす\(\theta\)の値の範囲を求めよう。
一般解は\(n\)を整数として，
\(\left(\dfrac{2}{3}+2n\right)\pi<2\theta+\dfrac{\pi}{3}<\left(\dfrac{7}{3}+2n\right)\pi\)
すなわち，
\(\left(\dfrac{1}{6}+n\right)\pi<\theta<\left(1+n\right)\pi\)
\(0\leqq \theta <2\pi\)では，
\(\dfrac{\pi}{6}< \theta<\pi\),
\(\dfrac{7}{6}\pi< \theta<2\pi\)
\(\tan \left(\theta-\dfrac{\pi}{3}\right)<1\)を満たす\(\theta\)の値の範囲を求めよう。
一般解は\(n\)を整数として，
\(\left(-\dfrac{1}{2}+n\right)\pi<\theta-\dfrac{\pi}{3}<\left(\dfrac{1}{4}+n\right)\pi\)
すなわち,
\(\left(\dfrac{-1}{6}+n\right)\pi<\theta<\left(\dfrac{7}{12}+n\right)\pi\)
\(0\leqq \theta <2\pi\)では，
\(0\leqq\theta<\dfrac{7}{12}\pi\)
または
\(\dfrac{5}{6}\pi<\theta<\dfrac{19}{12}\pi\)
または
\(\dfrac{11}{6}\pi<\theta<2\pi\)
複雑な問題のときは，一般にやったほうが簡単になるという教訓。