121124 初版
MathJaxがあまりにいいので，
調子に乗って書いてみる
SVGファイルはFirefox Chrome Operaなどでご覧ください
2次曲線\(f(x,y)=0\)が直線\(y=mx+n\)を切り取る線分の長さ，
弦の長さを求めよう。
弦の両端を点A, Bとして，
A\((x_1,y_1)\), B\((x_2,y_2)\)とおく
\(y\)を消去して，
\(f(x,mx+n)=0\)
よって，\(x_1=\alpha\), \(x_2=\beta\)をこの方程式の実数解とする。
\(y_1=m\alpha+n\),
\(y_2=m\beta+n\)を使うよな。
せっかくここまでして，早まって，α, βを直接代入はしないほうがいい。
少なくとも，式のまま引こう。
\(y_2-y_1=m(\beta-\alpha)\)
\({\rm AB}^2=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2
=(\beta-\alpha)^2+m^2(\beta-\alpha)^2=(1+m^2)(\beta-\alpha)^2\)
したがって，ABの長さは，\(\sqrt{1+m^2}\left|\beta-\alpha\right|\)
早い話，
水平方向の差を1とすると，傾きが\(m\)だから，
直角三角形のピタゴラスの定理により
斜辺の長さは\(\sqrt{1+m^2}\)