131103 初版 131103 更新
某有名参考書
数直線上の2点A, B は，最初A が原点，Bが座標2にあり，
次の法則で動くものとする。
コインを投げて，表が出ればA は +1 だけ動き，B はその場にとどまる。
裏が出ればB は +1 だけ動き，A はその場にとどまる。
コインを6回投げて初めてA が B に追いつく確率を求めよ。
答え \(\dfrac{5}{64}\)
表が出たことを a, 裏が出たことを b とかくことにする。
よく樹形図を書いたりもするが，
a が起こるか 起こらないか は最短経路がいいと思う。
6回でとにかく追いつくのだから，
a a a a b b の6文字を一列に並べることと同じ
6回目以外は
a と b の起こる回数の差が 1 以下(負でもよい)
左上から右下への最短経路
a は 右，b は 下へ行く
青色の街路しか経由できないので
3番目のカタラン数で 5 とおり
具体的には
| 1 | a b a b a a |
| 2 | a b b a a a |
| 3 | b a a b a a |
| 4 | b a b a a a |
| 5 | b b a a a a |
だから，
答え \(\dfrac{5}{64}\)