121215 初版
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円\(x^2+y^2=16\)に点A(2,5)から引いた2本の接線について，
接点をP, Qとして，直線PQの方程式を求めよ。
接点の座標を\((X,Y)\)とすると，
円の接線の
公式により，
接線の方程式は\(Xx+Yy=16\)である。
\(Xx+Yy=16\)は点Aを通るので，
\(2X+5Y=16\)…(F1)
連立方程式
\(\left\{
\begin{array}{l}
X^2+Y^2=16\cr
2X+5Y=16\cr
\end{array}
\right.\)
を解けば，P, Qの座標を求めることができるのだが，
直線PQの方程式を求めるのが目的だから，
そこまでしなくてもよい。
P\((x_1,y_1)\)とすると，これは(F1)の方程式を満たすはずである。
また，Q\((x_2,y_2)\)とすると，これも(F1)の方程式を満たすはずである。
つまり，1次方程式\(2x+5y=16\)は直線を表す方程式であるが，
これは，直線PQの方程式に他ならない。
図形の問題なので，
次のような見方もできるとよい。
原点(円の中心)をOとして，
\(\overrightarrow{\rm OA}=(2,5)\)は直線PQの法線ベクトルである。
したがって，直線PQの方程式は\(2x+5y=c\)とおくことができる。
(ベクトルは図形表現の一手段に過ぎない。
有用な手段ではあるが。)
\(c\)は正の数であることに注意する。
弦PQの中点をMとする。
直角三角形
OPAと
直角三角形
OMPは相似であり，
OM:OP=OP:OA=\(4:\sqrt{29}\)…(F2)
(
三角比
を用いてもよい。
\(\cos\angle{\rm AOP}=\dfrac{4}{\sqrt{29}}\))
点と直線の距離公式
により，
\(c=\sqrt{29}\rm{OM}\)
(F2)より，\({\rm OM}={\rm OP}\cdot\dfrac{4}{\sqrt{29}}=\dfrac{16}{\sqrt{29}}\)であるから，
\(c=16\)
したがって，直線PQの方程式は\(2x+5y=16\)