有名なinference 121215

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121215 初版

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MathJaxがあまりにいいので，調子に乗って書いてみる
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円

$x^2+y^2=16$ に点A(2,5)から引いた2本の接線について，
接点をP, Qとして，直線PQの方程式を求めよ。

接点の座標を

$(X,Y)$ とすると，
円の接線の公式により，
接線の方程式は

$Xx+Yy=16$ である。

$Xx+Yy=16$ は点Aを通るので，

$2X+5Y=16$ …(F1)

連立方程式

$\left\{ \begin{array}{l} X^2+Y^2=16\cr 2X+5Y=16\cr \end{array} \right.$
を解けば，P, Qの座標を求めることができるのだが，
直線PQの方程式を求めるのが目的だから，そこまでしなくてもよい。

$(x_1,y_1)$ とすると，これは(F1)の方程式を満たすはずである。
また，Q

$(x_2,y_2)$ とすると，これも(F1)の方程式を満たすはずである。

つまり，1次方程式

$2x+5y=16$ は直線を表す方程式であるが，
これは，直線PQの方程式に他ならない。

図形の問題なので，次のような見方もできるとよい。

原点(円の中心)をOとして，

$\overrightarrow{\rm OA}=(2,5)$ は直線PQの法線ベクトルである。
したがって，直線PQの方程式は

$2x+5y=c$ とおくことができる。
(ベクトルは図形表現の一手段に過ぎない。有用な手段ではあるが。)

$c$ は正の数であることに注意する。

三角形OPQはOP=OQの二等辺三角形である。
接線の長さの性質から三角形APQはAP=AQの二等辺三角形である。
したがって，直線OAは弦PQの垂直二等分線である。

弦PQの中点をMとする。
直角三角形 OPAと直角三角形 OMPは相似であり，
OM:OP=OP:OA=

$4:\sqrt{29}$ …(F2)
(三角比を用いてもよい。

$\cos\angle{\rm AOP}=\dfrac{4}{\sqrt{29}}$ )

$c=\sqrt{29}\rm{OM}$
(F2)より，

${\rm OM}={\rm OP}\cdot\dfrac{4}{\sqrt{29}}=\dfrac{16}{\sqrt{29}}$ であるから，

$c=16$
したがって，直線PQの方程式は

$2x+5y=16$