121216 初版
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四面体OABCの体積を計算せよ。
三角形OBCを底面としたとき，高さARの長さを出すには，
いろいろな手法があるが，
今回は
正射影
の考えを使ってみる。
∠OAR=θとして，
\(\cos\theta=\dfrac{\overrightarrow{\rm AO}\cdot\overrightarrow{\rm AR}}{|\overrightarrow{\rm AO}||\overrightarrow{\rm AR}|}\)
よって，
\({\rm AR}={\rm OA}\cos\theta=\dfrac{\overrightarrow{\rm AO}\cdot\overrightarrow{\rm AR}}{{\rm AR}}\)
つまり，
\({\rm AR}=\sqrt{\overrightarrow{\rm AO}\cdot\overrightarrow{\rm AR}}\)
\({\rm AR}=\sqrt{\overrightarrow{\rm AO}\cdot\overrightarrow{\rm AR}}\)
\(=\sqrt{(\vec{a}\cdot\vec{a})-(\vec{a}\cdot\vec{b})s-(\vec{a}\cdot\vec{c})t}\)
体積は
\(V=\dfrac{1}{3}S\cdot{\rm AR}\)
行列式の記号を用意する。
\(\left|
\begin{array}{cc}
a & b\cr
c & d\cr
\end{array}
\right|=ad-bc\)
\(\left|
\begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\cr
a_{21} & a_{22} & a_{23}\cr
a_{31} & a_{32} & a_{33}\cr
\end{array}
\right|=
a_{11}\left|\begin{array}{cc}
a_{22} & a_{23}\cr
a_{32} & a_{33}\cr
\end{array}\right|
-a_{12}\left|\begin{array}{cc}
a_{21} & a_{23}\cr
a_{31} & a_{33}\cr
\end{array}\right|
+a_{13}\left|\begin{array}{cc}
a_{21} & a_{22}\cr
a_{31} & a_{32}\cr
\end{array}\right|
\)
\(s\), \(t\) は
クラメルの公式
を使って，
\(\varDelta_a=
\left|
\begin{array}{cc}
\vec{b}\cdot\vec{b} & \vec{b}\cdot\vec{c}\cr
\vec{c}\cdot\vec{b} & \vec{c}\cdot\vec{c}\cr
\end{array}
\right|\),
\(\varDelta_b=
\left|
\begin{array}{cc}
\vec{b}\cdot\vec{a} & \vec{b}\cdot\vec{c}\cr
\vec{c}\cdot\vec{a} & \vec{c}\cdot\vec{c}\cr
\end{array}
\right|\),
\(\varDelta_c=
\left|
\begin{array}{cc}
\vec{b}\cdot\vec{a} & \vec{b}\cdot\vec{b}\cr
\vec{c}\cdot\vec{a} & \vec{c}\cdot\vec{b}\cr
\end{array}
\right|\), とおいて，
\(s=\dfrac{\varDelta_b}{\varDelta_a}\), \(t=-\dfrac{\varDelta_c}{\varDelta_a}\)
また，
\(S=\dfrac{1}{2}\sqrt{\varDelta_a}\)
よって，
\(V=\dfrac{1}{6}\sqrt{(\vec{a}\cdot\vec{a})\varDelta_a
-(\vec{a}\cdot\vec{b})\varDelta_b
+(\vec{a}\cdot\vec{c})\varDelta_c
}\)
したがって，
\(\varDelta=\left|
\begin{array}{ccc}
\vec{a}\cdot\vec{a} & \vec{a}\cdot\vec{b} & \vec{a}\cdot\vec{c}\cr
\vec{b}\cdot\vec{a} & \vec{b}\cdot\vec{b} & \vec{b}\cdot\vec{c}\cr
\vec{c}\cdot\vec{a} & \vec{c}\cdot\vec{b} & \vec{c}\cdot\vec{c}\cr
\end{array}
\right|\) とおいて，
\(V=\dfrac{1}{6}\sqrt{\varDelta}\)