http://goo.gl/MFRFj 130105 初版
トップページ
\(f(x)=\dfrac{2x-1}{x^2-2x+3}\) の最大値・最小値を求める。
よく使われるわざを用いる。
まず，この関数はすべての実数で定義されている。
f(x)=k とおく。
k のとりうる値の範囲を見てみよう。
\(x=\dfrac{1}{2}\) のとき k = 0 である。
\(f(x)=k\) ⇔
\(k(x^2-2x+3)=2x-1\) ⇔
\(kx^2-2(k+1)x+3k+1=0\)
\(k\not= 0\) を仮定して，
これを x についての2次方程式と見て，
x が
実数であること ⇔
\(4(k+1)^2-4k(3k+1)\geqq 0\)
これはk=0 を解としてもつので，そのままこの不等式を解く。
\(2k^2-k-1\leqq 0\)
すなわち，\(-\dfrac{1}{2}\leqq k \leqq 1\)
f(x) は
x=2 で 最大値 1,
x=-1 で 最小値 \(-\dfrac{1}{2}\)をとる。
最大となるx の値は \(x^2-4x+4=0\) を解いている。
最小となるx の値は \(-\dfrac{1}{2}x^2-x-\dfrac{1}{2}=0\) を解いている。
解法を探究してみる。
\(\dfrac{1}{f(x)}=\dfrac{x^2-2x+3}{2x-1}=\dfrac{1}{2}\left(x-\dfrac{3}{2}\right)+\dfrac{9}{4(2x-1)}\)
\(=\dfrac{1}{4}(2x-1)+\dfrac{9}{4(2x-1)}-\dfrac{1}{2}\)
ここで，
相加平均相乗平均の大小関係を用いると
\(2x-1 > 0\)のとき，\(\dfrac{1}{4}(2x-1)+\dfrac{9}{4(2x-1)}\geqq\dfrac{3}{2}\)
等号が成り立つのは\(2x-1>0\) かつ \(\dfrac{1}{4}(2x-1)=\dfrac{9}{4(2x-1)}\) のとき，
つまり 2x-1=3 すなわち x=2 のとき
\(2x-1 > 0\)においては，\(\dfrac{1}{f(x)} \geqq 1\)
よって，\(0 < f(x) \leqq 1\)
f(x)=1となるのは x=2 のとき
\(2x-1 < 0\)においては，\(\dfrac{1}{f(x)} \leqq -2\)
よって，\(-\dfrac{1}{2} \leqq f(x) < 0\)
\(f(x)=-\dfrac{1}{2}\)となるのは 2x-1=-3 すなわち x=-1 のとき
数学IIIの微分法を知っていれば，
\(f^\prime (x)=\dfrac{-(x+1)(x-2)}{(x^2-2x+3)^2}\)
増減表
全日本増減表活用促進協議会
| x |
-∞ |
… |
-1 |
… |
2 |
… |
+∞ |
| f′(x) |
− |
− |
0 |
+ |
0 |
− |
− |
| f(x) |
−0 |
↘ |
\(-\dfrac{1}{2}\) |
↗ |
1 |
↘ |
+0 |
グラフ1
判別式を使う方法も知っていたほうがいいが，
数学Iでも解けますよ，といっているに過ぎないかも。
同じく相加平均相乗平均の大小関係を使ったにしても，
変形は技巧的である。
もちろんこれもできたほうがいい。
学習の段階では，いろいろな解法を知ったほうがいいと思うが，
確実な計算力がないと，いざというときには弱い。