(1)
\(f(\theta)=\cos 2\theta+a\cos\theta+b\cos^2\dfrac{\theta}{2}\)
\(=2\cos^2-1+a\cos\theta+\dfrac{b}{2}(1+\cos\theta)\)
\(=2t^2+(a+\dfrac{b}{2})t+\dfrac{b}{2}-1\)

(2)
\(2t^2+\dfrac{3}{2}t=0\) を解いて， \(t=0,-\dfrac{3}{4}\)
t=0 について， \(\theta=\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3}{2}\pi\) (順にθ₁, θ₂ とする。)
\(t=-\dfrac{3}{4}\) について，
\(\dfrac{\pi}{2}<\theta<\pi\) で，\(\cos\theta=-\dfrac{3}{4}\) なる θ をθ₃とする
\(\pi<\theta<\dfrac{3}{2}\pi\) で，\(\cos\theta=-\dfrac{3}{4}\) なる θ がもうひとつあって θ₄とする
θ₄ = 2π - θ₃
よって，θ は 4個あって，総和は θ₁+θ₂+θ₃+θ₄=4π

(3)
t = 1 に対して， θ = 0 １つ
t = -1 に対して， θ = π １つ
ほかの cos θ = t, -1 < t < 1 なる t 1つに対して， θ = α (0 < α < π) とすると，
cos θ = t なる もう1つは 2π-α

解 θ が条件を満たすのは
α が 0 …① または β が π …② であることが必要である。

① α = 0
\(\beta=\dfrac{\alpha+\gamma}{2}\) より，\(\beta=\dfrac{\gamma}{2}\)
また γ = 2π - β
よって，\(\beta=\dfrac{2}{3}\pi\), \(\gamma=\dfrac{4}{3}\pi\)
このとき2つの t は 1, \(-\dfrac{1}{2}\)
よって a=-1, b=0

② β = π
\(g(t)=2t^2+(a+\dfrac{b}{2})t+\dfrac{b}{2}-1\) において，
②-1: g(-1) = 0
②-2: \(-\dfrac{a}{4}-\dfrac{b}{8}>-1\)
②-3: g(1) > 0
よって a=1, -2 < b < 6

まとめると
(a,b)=(-1, 0) または
a=1, -2 < b < 6