2015年度 横浜市立大 医学部

参考
バニシング法 2次式×等比 型の和

求める和を S とおく。
\(T=S-\dfrac{3}{2}S+\dfrac{3}{4}S-\dfrac{1}{8}S\) を計算する。
T における 2^n-j の項 (j = 4, 5, …, n) の係数は，
j² - 3(j - 1)² + 3(j - 2)² - (j - 3)² であり，
これは，任意の j について　0 である。

\(T=\dfrac{1}{8}S=(2^{n-1}+4\cdot 2^{n-2}+9\cdot 2^{n-3})\) \(+(-3\cdot 2^{n-2}-12\cdot 2^{n-3}-3n^2\cdot 2^{-1})\) \(+(3\cdot 2^{n-3}+3(n-1)^2\cdot 2^{-1}+3n^2\cdot 2^{-2})\) \(+(-(n-2)^2\cdot 2^{-1}-(n-1)^2\cdot 2^{-2}-n^2\cdot 2^{-3})\)

\(S=3\cdot 2^{n+1}-n^2-4n-6\)