約数の個数

4800 の正の約数の個数を求めよ。また，正の約数の総和を求めよ。

4800 を素因数分解すると， 4800 = 2⁶・3¹・5²
正の約数は，
\((1+2+2^2+2^3+2^4+2^5+2^6)(1+3)(1+5+5^2)\)
の展開式の項にすべて現れる。… ①
したがって，個数は 7×2×3 = 42(個)
総和は，127×4×31 = 15748

解説

自然数 n が整数の積 a k に分解できるとき， a は n の約数であるという。
n の素因数分解を n = p^α q^β r^γ とする。

正の約数を求めることは，
例えば，p について，α個を a と k に分けることと同じである。
この分け方は (α + 1) 通りある。
q, r についても同様であるから ① がいえる。

もう少し具体的には

n の素因数分解が n = p³ q² r¹ であったとする。

正の約数は次のものですべて

これは，次の式を展開した項と同じ
(1 + p + p² + p³) (1 + q + q²) (1 + r)