無限級数

∠A₁ = 90°, A₁B = 1, A₁C = p の 直角三角形 A₁BC がある。
A₁ から対辺BC に下ろした垂線を A₁A₂,
A₂ からA₁B に下ろした垂線を A₂A₃とし， 以下これを無限に続け，
点A₂, A₃, A₄, …… A_n, …… をとるとき，
△A₁BA₂, △A₂BA₃, △A₃BA₄, …… △A_nBA_n+1, …… の面積の総和 S を求めよ。

[1] \(S_1\) を求めよう。
△A₁BC の面積は \(\dfrac{p}{2}\)
△A₁BA₂ と △CBA₁ は相似であり， 相似比は 1 : \(\sqrt{1+p^2}\) である。
\(S_1=\left(\dfrac{p}{2}\right)\times \left(\dfrac{1}{\sqrt{1+p^2}}\right)^2\) \(=\dfrac{p}{2(1+p^2)}\)

[2] \(S_{n+1}\) と \(S_n\) の関係式を求めよう。
△A_n+1BA_n+2 と △A_nBA_n+1 は相似であり， 相似比は 1 : \(\sqrt{1+p^2}\) である。
\(S_{n+1}=\left(\dfrac{1}{\sqrt{1+p^2}}\right)^2 S_n\) \(=\dfrac{1}{1+p^2}S_n\)

[3] S は 初項 \(S_1\) 公比 \(\dfrac{1}{1+p^2}\) の無限等比級数の和である。
収束して，
\(S=\dfrac{p}{2(1+p^2)}\times \dfrac{1}{1-\frac{1}{1+p^2}}\) \(=\dfrac{1}{2p}\)