定積分と不等式 総合演習 220408

演習1 [名城大]
n を自然数とし、 \(\displaystyle{a_n=\int_0^1x^ne^x\ dx}\) と定める。
(1) a₁ を求めよ。
(2) a_n+1 + (n + 1) a_n の値を求めよ。
(3) \(\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}a_n}\) を求めよ。
(4) \(\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}na_n}\) を求めよ。

演習2　[京都大]
自然数 n に対して、
\(\displaystyle{a_n=\int_0^1(1+x)^{-n}xe^{x^2}\ dx}\)
\(\displaystyle{b_n=\int_0^1(1+x)^{-n-1}e^{x^2}\ dx}\)
(1) \(0\lt a_n\lt\) \(\displaystyle{e\int_0^1(1+x)^{-n}\ dx}\) を示し、 \(\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}a_n}\) を求めよ。
(2) \(\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}nb_n}\) を求めよ。

演習3　[新潟大]
\(\displaystyle{a_n=\int_0^1\dfrac{(1-x)^{n-1}}{(n-1)!}e^x\ dx}\) 　(n = 1, 2, 3,……) とおく。
(1) \(0\lt a_n\lt\frac{e}{n!}\) であることを示せ。
(2) \(a_{n+1}=a_n-\frac{1}{n!}\) であることを示せ。
(3) 無限級数 \(1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots\cdots\) を求めよ。

演習4　[群馬大]
n を自然数とする。
\(a_n=\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+3}+\frac{1}{2n+5}+\cdots\cdots+\frac{1}{2n+(2n-1)}\) とおく。
\(\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}a_n}\) を求めよ。

演習5　[東京大]
n を自然数とする。
\(\displaystyle{a_n=\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{\sqrt{k}}}\),　 \(\displaystyle{b_n=\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{\sqrt{2k+1}}}\)
とおく。
(1) \(\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}a_n}\) を求めよ。
(2) \(\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{b_n}{a_n}}\) を求めよ。