121216 初版 130122 更新
どのくらい公式があるといいのかというのを
知りたいので載せて問題からlinkをはる。
「垂線をひく」、「垂線に注目する」ことと、
三角比のよさを体現する考え方である。
余弦定理はこの操作をかくして辺の長さの関係を記述している。
図のように、三角形ABC(Bは直角ではないとしよう)の点Cから対辺ABに垂線CHをひく。
三角形の辺の表し方の約束によって、
\({\rm BC}=a\), \({\rm CA}=b\), \({\rm AB}=c\)
このとき、
\(a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\)
3辺の長さから，角の大きさを求めるためにも使う。
\(\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\)
導出
直角三角形
CAHにおいて，
三角比の定義によって，
\({\rm AH}=b\cos A\), \({\rm BH}=b\sin A\)
\({\rm BH}=c-b\cos A\)
直角三角形
CBHにおいて，
ピタゴラスの定理によって，
\(a^2=(b\sin A)^2+(c-b\cos A)^2=b^2(\sin^2 A+\cos^2 A)+c^2-2bc\cos A\)
\(=b^2+c^2-2bc\cos A\)
主な用途
たくさん