積分法　第1回

不本意ながら積分法

関数\(F\)	\(1\)	\(x\)	\(x^2\)	\(x^3\)	\(x^4\)	\(x^2+1\)	\(x^2+2\)	\(x^2-3\)	\(x^2+x\)
関数\(f\)	\(0\)	\(1\)	\(2x\)	\(3x^2\)	\(4x^3\)	\(2x\)	\(2x\)	\(2x\)	\(2x+1\)

関数\(F\)から関数\(f\)への対応が微分である。

関数\(f\)から関数\(F\)への対応が不定積分である。
例えば，\(x^2\)は\(2x\)の原始関数(の1つ)である。
\(2x\)の不定積分は\(x^2+C\) (\(C\)は定数で，積分定数と呼ばれる)であり， 関数族(family)である。
\(\displaystyle{\int 2x\ dx=x^2+C}\)

関数\(F\)	\(x\)	\(\dfrac{1}{2}x^2\)	\(\dfrac{1}{3}x^3\)	\(\dfrac{1}{4}x^4\)	\(\dfrac{1}{3a}(ax+b)^3\)
関数\(f\)	\(1\)	\(x\)	\(x^2\)	\(x^3\)	\((ax+b)^2\)

関数\(f\)の原始関数の代表が関数\(F\)である。

\(\displaystyle{\int(3x-2)^2\ dx=\int(9x^2-12x+4)\ dx=3x^3-6x^2+4x+C_1}\) (\(C_1\)は積分定数)であるが，
次の公式を使うと
\(\displaystyle{\int(3x-2)^2\ dx=\frac{1}{9}(3x-2)^3+C_2=3x^3-6x^2+4x-\frac{8}{9}+C_2}\) (\(C_2\)は積分定数)である
微分すると，ともに\(9x^2-12x+4\)だから，両方とも正しい
このように不定積分は微分して元に戻れば正しい。