2点A, B があると
その2点を通る直線はただ1つ存在する。
3点目がその直線上にあるには，
何か条件が整わなくてはならない。
点P が直線AB 上にあるための条件を考えよう。
点P が直線AB 上にある必要かつ十分な条件は
\(\overrightarrow{\rm AP}\) が \(\overrightarrow{\rm AB}\)
の実数倍でかけること
すなわち，
\(\overrightarrow{\rm AP}=k\overrightarrow{\rm AB}\) となる
実数 k が存在することである。
位置ベクトルの関係式で書けば，
\(\overrightarrow{\rm OP}-\overrightarrow{\rm OA}=
k(\overrightarrow{\rm OB}-\overrightarrow{\rm OA})\) であるから，
\(\overrightarrow{\rm OP}=
(1-k)\overrightarrow{\rm OA}+k\overrightarrow{\rm OB}\)
任意の点に対して，
\(\overrightarrow{\rm OP}=
s\overrightarrow{\rm OA}+t\overrightarrow{\rm OB}\)
なる (s, t) が存在するが，
P が直線 AB 上にある ⇔ s + t = 1
ということができる。
そうならないときを考えるのは，理解を助けることが多い。
点P が直線AB 上にないということは
\(\overrightarrow{\rm AP}\) が \(\overrightarrow{\rm AB}\)
の実数倍でかけないということ
すなわち，
\(\overrightarrow{\rm AP}=k\overrightarrow{\rm AB}+l\overrightarrow{\rm AC}\)
となる 直線AB 上にない 点C と，
0 でない実数 l が
存在してしまうことである。
位置ベクトルの関係式で書けば，
任意の点に対して，
\(\overrightarrow{\rm OP}=
s\overrightarrow{\rm OA}+t\overrightarrow{\rm OB}\)
なる (s, t) が存在するが，
P が直線 AB 上にない ⇔ s + t ≠ 1
ということができる。
また，
P が 2直線 EF, KL の交点であるとは，
\(\overrightarrow{\rm EP}=s\overrightarrow{\rm EF}\) … ①
\(\overrightarrow{\rm KP}=t\overrightarrow{\rm KL}\) … ②
と表せるということである。
位置ベクトルの関係式で書けば，
\(\overrightarrow{\rm OP}=
(1-s)\overrightarrow{\rm OE}+s\overrightarrow{\rm OF}\) … ③
\(\overrightarrow{\rm OP}=
(1-t)\overrightarrow{\rm OK}+t\overrightarrow{\rm OL}\) … ④
このように
様子を式で表して，
① を ③ へ，
② を ④ への書き換えに慣れている人は，
ベクトルの考えを使いこなしているといえる。