ベクトルと2直線の交点

$\overrightarrow{\rm OC}=\dfrac{2}{3}\vec{a}$
$\overrightarrow{\rm OD}=\dfrac{1}{2}\vec{b}$

AP : PD = s : (1-s) … ①
BP : PC = t : (1-t) … ②

① より
$\overrightarrow{\rm OP}=(1-s)\overrightarrow{\rm OA} +s\overrightarrow{\rm OD}$
i.e.  $\overrightarrow{\rm OP}=(1-s)\vec{a}+\dfrac{1}{2}s\vec{b}$ … ③

② より
$\overrightarrow{\rm OP}=(1-t)\overrightarrow{\rm OB} +t\overrightarrow{\rm OC}$
i.e.  $\overrightarrow{\rm OP}=\dfrac{2}{3}t\vec{a}+(1-t)\vec{b}$ … ④

$\vec{a}\not=\vec{0}$,  $\vec{b}\not=\vec{0}$,  $\vec{a}$ ∦ $\vec{b}$
③, ④ より $1-s=\dfrac{2}{3}t$,  $\dfrac{1}{2}s=1-t$, 

これをといて， $(s,t)=(\dfrac{1}{2}, \dfrac{3}{4})$
よって， $\overrightarrow{\rm OP}=\dfrac{1}{2}\vec{a}+\dfrac{1}{4}\vec{b}$

① (または ⑤)より
$\overrightarrow{\rm OP}=(1-s)\overrightarrow{\rm OA} +s\overrightarrow{\rm OD}$ … ⑦

$\overrightarrow{\rm OD}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{\rm OB}$
$\overrightarrow{\rm OA}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{\rm OC}$ だから
⑦ を $\overrightarrow{\rm OB}$, $\overrightarrow{\rm OC}$ で書き換えて
$\overrightarrow{\rm OP}=\dfrac{3}{2}(1-s)\overrightarrow{\rm OC} +\dfrac{1}{2}s\overrightarrow{\rm OB}$

P は BC 上にあるから，
$\dfrac{3}{2}(1-s)+\dfrac{1}{2}s=1$

これをといて，$s=\dfrac{1}{2}$ $\overrightarrow{\rm OP}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{\rm OA} +\dfrac{1}{2}\overrightarrow{\rm OD}$
i.e.   $\overrightarrow{\rm OP}=\dfrac{1}{2}\vec{a}+\dfrac{1}{4}\vec{b}$