n個すべてを1列に並べる

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180602 初版 180602 更新
ここでは，n個が1列に並んでいるものを並び替えることを考えます。
2つの数字12を1列に並べる方法は
(S2) 12, 21
の 2とおり あります。
3つの数字123を1列に並べる方法は
(S3) 123, 132, 213, 231, 312, 321
の 6とおり あります。
これは，
1 を先頭とするとあとは 23, 32 で123, 132
2 を先頭とするとあとは 13, 31 で213, 231
3 を先頭とするとあとは 12, 21 で312, 312
このようにあと2つに対して(S2)による並び替えを適用します。
または，
(S2) のそれぞれの元のどこかに3 を付け加えることで得られます。
12 → 123, 132, 312
21 → 213, 231, 321
4つの数字1234を1列に並べる方法(S4)は
1234, 1243, 1324, 1343, 1423, 1432
2134, 2143, 2314, 2341, 2413, 2431
3124, 3142, 3214, 3241, 3412, 3421
4123, 4132, 4213, 4231, 4312, 4321
の 24とおり あります。
これは，
1 を先頭とするとあとは 234
2 を先頭とするとあとは 134
3 を先頭とするとあとは 124
4 を先頭とするとあとは 123
あと3つに対して(S3)による並び替えを適用します。
または，
\(\mathfrak{S}_3\)のそれぞれの元 abc の前後およびあいだに4を入れることによって得られます。
すなわち，abc → abc4, ab4c, a4bc, 4abc
123→ 1234124314234123
132→ 1324134214324132
213→ 2134214324134213
231→ 2314234124314231
312→ 3124314234124312
321→ 3214324134214321
n個が1列に並んでいるとき，並び替えの方法は n! とおり あります。