171105 初版 171105 更新
三角形PAB があるとき，
P から 直線ABに垂線 PH を引きます。
ベクトルPH は 直線ABの法線への
正射影ベクトルです。
座標平面では，きれいな公式があります。
直線AB を ax + by + c = 0, 点Pを(x1, y1) とします。
直線AB 上に点 Q(x0, y0)をとって，
直線AB の法線ベクトルを\(\vec{n}\) とすると，
Pと直線AB の距離 d は
\(d=\dfrac{|\overrightarrow{\rm PQ}\cdot\vec{n}|}{|\vec{n}|}\)
ここで，\(\vec{n}=(a,b)\), \(ax_0+by_0=-c\) ですから，
\(\overrightarrow{\rm PQ}\cdot n\)
\(=a(x_0-x_1)+b(x_0-y_1)\)
\(=-(ax_1+y_1+c)\)
したがって，
\(d=\dfrac{|ax_1+y_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)