定積分と平行移動

　ここでは図形の面積は平行移動で不変であることを使って， 定積分計算の工夫を考えてみます。

① y = 2(x - 1)², y = 0, x = 4 で囲まれた図形
② y = 2x², y = 0, x = 3 で囲まれた図形
① を x 軸方向 -1 平行移動すると ② に重なるので面積は変わりません。
式でいえば，
\(\displaystyle{\int_1^4 2(x-1)^2dx}\) \(\displaystyle{=\int_0^3 2x^2dx}\)

一般に，
\(\displaystyle{\int_a^b f(x-p)dx}\) \(\displaystyle{=\int_{a-p}^{b-p} f(t)dt}\)
(\(t=x-p\), \(dt=dx\))

置換積分のもっとも単純な例です。
\(\displaystyle{\int_a^b f(g(x)) g^\prime(x)dx}\) \(\displaystyle{=\int_{g(a)}^{g(b)} f(t)dt}\)
(\(t=g(x)\), \(dt=g^\prime(x)dx\))

定積分の有名な公式は これで証明することができます。 これら有名な公式を覚えていなくても， この平行移動の原理で定積分の計算を工夫することができます。 証明はこちら(定積分の有名な公式)

\(\displaystyle{\int_\alpha^\beta(x-\alpha)^2dx}\) \(=\dfrac{1}{3}(\beta-\alpha)^3\)

\(\displaystyle{\int_\alpha^\beta(x-\alpha)(x-\beta)dx}\) \(=-\dfrac{1}{6}(\beta-\alpha)^3\)

\(\displaystyle{\int_\alpha^\beta(x-\alpha)^2(x-\beta)dx}\) \(=-\dfrac{1}{12}(\beta-\alpha)^4\)