P\((x,y)\), F \((c,0)\), F′ \((-c,0)\)として，
双曲線の方程式を導出してみましょう。

図をSVGファイルにしてみました。
SVGファイルは，scriptが使えるので， ちゃんと計算して，細かい線分に分けて書かせています。
双曲線
テキストファイルです。ecmascriptを使っていますから， 書き方を知れば，いくらでも変更可能です。

後で書くつもりですが， 双曲線のパラメータ表示を使っています。 sinh, coshのことです。 日本語では双曲線関数と呼ぶようです。
\(\sinh x=\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}\)  \(\cosh x=\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}\) が定義です。
coshは懸垂線(catenary)ですね。

SVGファイルは数学的な図形をすごくきれいにかくことができます。
双曲線をフリーハンドでかく場合には， 漸近線を意識するのですが，
もっというと，長方形を使うとよいようです。
双曲線\(\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\)の場合には， A\((-a,-b)\),  B\((a,b)\)を対角線として，辺が座標軸と平行な長方形です。
対角線の長さは焦点間の距離と等しいです。