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三角形ABC は，
直角三角形とする。
角ACBが直角，ABを斜辺とする。
AB = c,
BC = a,
CA = b,
とおくと，
a² + b² = c²
証明はいろいろあるが，
第1余弦定理の説明と同じように，C から AB へ垂線 CH を引く。
三角形ABC, ACH, CBH は相似である。
ことを使う。
AB:BC:CA = AC:CH:HA = CB:BH:HC = c:a:b であるから，
\({\rm AH}=\dfrac{b^2}{c}\),
\({\rm BH}=\dfrac{a^2}{c}\),
AH + BH = AB だから \(\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{a^2}{c}=c\)
すなわち，\(a^2+b^2=c^2\)
三角比の定義を
使ってもよい。
直角三角形ABC において，
\(\cos A=\dfrac{b}{c}\),
\(\cos B=\dfrac{a}{c}\)
三角形ACH で，\({\rm AH}=b\cos A=\dfrac{b^2}{c}\),
三角形ABH で，\({\rm BH}=a\cos B=\dfrac{a^2}{c}\)
AH + BH = AB だから \(\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{a^2}{c}=c\)
第1余弦定理の
特別な場合である。
また，三角関数の相互関係が導かれる。
直角三角形ABC において，
\(\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{a^2}{c}=c\) より，
\(\left(\dfrac{a}{c}\right)^2+\left(\dfrac{b}{c}\right)^2=1\)
三角比の定義により，
\(\cos A=\dfrac{b}{c}\),
\(\sin A=\dfrac{a}{c}\)
ゆえに，\(\sin^2A+\cos^2A=1\)