140413 初版 140413 更新
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絶対値の三角不等式
関連項目:
実数の絶対値
実数の絶対値
定義
a ≧ 0 に対しては |a| = a, a < 0 に対しては |a| = -a
性質
① どんな 実数 a に対しても |a| ≧ 0 (等号は a = 0 のとき)
② |a| ≧ a (等号は a ≧ 0 のとき)
③ |a|
2
= a
2
④ |a| |b| = |ab| 特に |a| = |-a|
a, b を実数とする。
|a + b| ≦ |a| + |b| が成り立つ
証明
(|a| + |b|)
2
- |a + b|
2
=|a|
2
+ 2|a||b| + |b|
2
- |a + b|
2
ただの展開
=a
2
+ 2|ab| + b
2
- (a + b)
2
絶対値の性質 ③ ④
=2(|ab| - ab) ただの展開・整理
絶対値の性質 ④ より |ab| ≧ ab ゆえに この式の値は 0 以上
よって，|a + b|
2
≦ (|a| + |b|)
2
|a + b| ≧ 0, |a| + |b| ≧ 0 だから，(①を用いている)
|a + b| ≦ |a| + |b| が成り立つ
等号が成立するのは |ab| = ab すなわち ab ≧ 0 のとき
(終)
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