直線 ℓ (HQ) の方程式 を ax + by + c = 0 とする
点P の座標を (x₁, y₁) とする。
P と ℓ の距離 d を求めよう。

Q(x₁, y₂) とする。
図において，∠ PHQ = ∠ PKH = 90° とする。

PH の長さを求めることになる。

線分 PH の長さは PQ の \(\dfrac{|b|}{\sqrt{a^2+b^2}}\) 倍である。… ①

直角三角形 QPH と QHK は
∠ Q が共通だから 相似である。

ℓ の傾きは \(-\dfrac{a}{b}\) だから
HK : KQ : QH = PH : HQ : QP = |b| : |a| : \(\sqrt{a^2+b^2}\)
したがって，① がいえた。

PQ の長さは \(\dfrac{|ax_1+by_1+c|}{|b|}\) である。… ②

PQ= |y₁ - y₂|

Q は ℓ 上の点だから， \(ax_1 + by_2+c=0\)
ゆえに，\(y_2=\dfrac{-ax_1-c}{b}\)
\(y_1-y_2=y_1-\dfrac{-ax_1-c}{b}= \dfrac{ax_1+by_1+c}{b}\)

点P と 直線 ℓ との距離は
\(\dfrac{\left|ax_1+by_1+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}\) である。