$\log_{10}x+\log_{10}y=\log_{10}xy$
底は 1 より大きい
したがって、xy が 最大になる場合を考えることと同じ

x > 0, y> 0, x + 2y = 8 より
x = 8 - 2y, 0 < y < 4

xy = (8 - 2y) y = -2(y - 2)² + 8

xy は
最大値 8 をとる。

$\log_{10}x+\log_{10}y$ は
(x, y) = (4, 2) で  最大値 $3\log_{10}2$ をとる。