\(\displaystyle{S_n=1+2+3+4+\cdots+n}\)
\(\displaystyle{T_n=1^2+2^2+3^2+4^2+\cdots+n^2}\)
\(\displaystyle{U_n=1^3+2^3+3^3+4^3+\cdots+n^3}\)
とおく。

恒等式 \((2k+1)^3-(2k-1)^3=2(12k^2+1)\) を使う。

\(\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}((2k+1)^3-(2k-1)^3)=(2n+1)^3-1}\)
一方 \(\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}2(12k^2+1)=24T_n+2n}\)

\(24T_n=(2n+1)^3-(2n+1)\) \(=(2n+1)(4n^2+4n)\)

\(T_n=\dfrac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\)