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次の和 S を求めよ。
\(S=1\cdot 1+2\cdot 3+ 3\cdot 3^2+\cdots+n\cdot 3^{n-1}\)

1 2 3 … n n+1
S = 1・1 + 2・3 + 3・32 + … + n・3n-1
3S = 1・3 + 2・32 + … + (n-1)・3n-1 + n・3n
-2S = 1 + 3 + 32 + … + 3n-1 - n・3n

S の各項における左側が 1, 2, 3, … という1から始まる自然数の列の場合を 基本型
そうでない場合を一般型ということにする。
S - rS を考えたときの n+1 項を
最初の1項, 中の n-1 項, 最後の1項 と分けたほうがいいようだ。
基本型の場合がたまたま 最初からの n 項が等比数列の和になる。

\(\displaystyle{U=\sum_{k=1}^{n} 3^{k-1}}\)  (U は 初項1, 公比3, 項数 n の等比数列の和) とおく。
\(2S = n\cdot 3^n- U\)
\(=n\cdot 3^n-\dfrac{3^{n}-1}{2}\)
\(=\dfrac{(2n-1)\cdot 3^n+1}{2}\)
よって，
\(S=\dfrac{(2n-1)\cdot 3^n + 1}{4}\)