\(x=\sqrt{2+\sqrt{2}}\) とする
有理数 a, b で， \(x=\sqrt{a}+\sqrt{b}\) … ① と書けたとする。
\(x^2=2+\sqrt{2}\)
\(a+b+2\sqrt{ab}=2+\sqrt{2}\)
積 ab が平方数ならば 左辺は有理数で右辺は無理数だから矛盾である。
ゆえに \(2\sqrt{ab}\) は無理数である。
\(a+b-2=\sqrt{2}-2\sqrt{ab}\)
これが満たされるためには， a + b = 2 が必要 また 4ab = 2
したがって，2a, 2b は　\(t^2-4t+2=0\) の解であるが，これは無理数
ちなみに \(\sqrt{\dfrac{2+\sqrt{2}}{2}}+\sqrt{\dfrac{2-\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{2+\sqrt{2}}\)