151223 初版 151223 更新
二項係数には驚くような性質がある。
2つの数列 {an}, {bn} で，
内積 (一次形式)
Σ ak bk について，考察する。
いろいろな数列に対して，この和を考察するのはよい問題である。
いま，pを自然数として，
\(a_n=(-1)^n
\left(\begin{array}{c}
p\cr
n\cr
\end{array}
\right)\) とする。
ここで，
\(\left(
\begin{array}{c}
p\cr
r\cr
\end{array}\right)\) は \((a+b)^p\) の展開式の
\(a^{r}\cdot b^{p-r}\) の項の係数である。
定理
p 次未満の n についての任意の多項式 b(n) に対して，
\(\displaystyle{\sum_{r=0}^p a_r\cdot b(n+r)}=0\)
いくつかの例
1 - 4 + 6 - 4 + 1 = 0 (とても有名)
1・1 - 4・3 + 6・5 - 4・7 + 1・9
= 1 - 12 + 30 - 28 + 9 = 0
1・5・6・11 - 4・6・7・13 + 6・7・8・15 - 4・8・9・17 + 1・9・10・19
= 330 - 2184 + 5040 - 4896 + 1710 = 0
1・14 - 4・24 + 6・34 - 4・44
+ 1・54
= 1 - 64 + 486 - 1024 + 3125 = 2524
4次式以上では成り立たない。
4次未満は必要。
\(\displaystyle{S=\sum_{r=0}^4
(-1)^r
\left(\begin{array}{c}
4\cr
r\cr
\end{array}
\right)
\left(\begin{array}{c}
2+r\cr
2\cr
\end{array}
\right)
}\) とおくと， \(S=0\) … ①
① について
\(P(x)=x^2(1-x)^4\) とする。
i.e. \(P(x)=x^2-4x^3+6x^4-4x^5+x^6\)
微分する。
\(P^\prime(x)=2x-4\cdot 3x^2+6\cdot 4x^3-4\cdot 5x^4+6x^5\)
もう一回。
\(P^{\prime\prime}(x)
=2\cdot 1-4\cdot 3\cdot 2x+6\cdot 4\cdot 3x^2
-4\cdot 5\cdot 4x^3+6\cdot 5x^4\)
また，\(P^{\prime\prime}(x)\) は \((1-x)^2\) を因数にもつ。
ここで，\(S=\dfrac{1}{2}P^{\prime\prime}(1)=0\)
\(
\left(\begin{array}{c}
2+n\cr
2\cr
\end{array}
\right)
=\dfrac{1}{2}(n+2)(n+1)\) に注意したい。
\(
\left(\begin{array}{c}
q+n\cr
q\cr
\end{array}
\right)
\) は n についての q 次多項式である。