数列 {n(n + 1)}: 1・2, 2・3, 3・4, 4・5, … の 初項 から 第n項 までの和を S_n とする。
すなわち，$\displaystyle{S_n=\sum_{k=1}^n k(k+1)}$

n	1	2	3	4	5	6	7
an	1・2	2・3	3・4	4・5	5・6	6・7	7・8
Sn							$\dfrac{1}{3}$・7・8・9 ??

p₇君は $S_7=\dfrac{1}{3}\cdot 7\cdot 8\cdot 9$ を示したい。
p₇君は思った。
$S_6=\dfrac{1}{3}\cdot 6\cdot 7\cdot 8$ だとすれば， $S_7=\dfrac{1}{3}\cdot 7\cdot 8\cdot 9$ がいえるのだが…
実際，
S₇ = S₆ + a₇ = $\dfrac{1}{3}\cdot 6\cdot 7\cdot 8$ $+7\cdot 8$
$=\dfrac{1}{3}\cdot 7\cdot 8\cdot(6+3)=\dfrac{1}{3}\cdot 7\cdot 8\cdot 9$
p₇君は p₆君にたずねた。 $S_6=\dfrac{1}{3}\cdot 6\cdot 7\cdot 8$ だよな。

p₆君は $S_6=\dfrac{1}{3}\cdot 6\cdot 7\cdot 8$ を示したい。
p₆君は思った。
$S_5=\dfrac{1}{3}\cdot 5\cdot 6\cdot 7$ だとすれば， $S_6=\dfrac{1}{3}\cdot 6\cdot 7\cdot 8$ がいえるのだが…
実際，
S₆ = S₅ + a₆ = $\dfrac{1}{3}\cdot 5\cdot 6\cdot 7$ $+6\cdot 7$
$=\dfrac{1}{3}\cdot 6\cdot 7\cdot(5+3)=\dfrac{1}{3}\cdot 6\cdot 7\cdot 8$
p₆君は p₅君にたずねた。 $S_5=\dfrac{1}{3}\cdot 5\cdot 6\cdot 7$ だよな。

p₂君は $S_2=\dfrac{1}{3}\cdot 2\cdot 3\cdot 4$ を示したい。
p₂君は思った。
$S_1=\dfrac{1}{3}\cdot 1\cdot 2\cdot 3$ だとすれば， $S_2=\dfrac{1}{3}\cdot 2\cdot 3\cdot 4$ がいえるのだが…
実際，
S₂ = S₁ + a₂ = $\dfrac{1}{3}\cdot 1\cdot 2\cdot 3$ $+2\cdot 3$
$=\dfrac{1}{3}\cdot 2\cdot 3\cdot(1+3)=\dfrac{1}{3}\cdot 2\cdot 3\cdot 4$
p₂君は p₁君にたずねた。 $S_1=\dfrac{1}{3}\cdot 1\cdot 2\cdot 3$ だよな。

p₁君 は答える。
$a_1=1\cdot 2$ は $\dfrac{1}{3}\cdot 1\cdot 2\cdot 3$ と等しいので， 安心してください。大丈夫です。

p_k+1の仕事は
(仮定) p_k: $S_k=\dfrac{1}{3}k(k+1)(k+2)$
(結論) p_k+1: $S_2=\dfrac{1}{3}(k+1)(k+2)(k+3)$
証明:
S_k+1 = S_k + a_k+1 = $\dfrac{1}{3}k(k+1)(k+2)$ $+(k+1)(k+2)$
$=\dfrac{1}{3}(k+1)(k+2)(k+3)$
よって， p_k が成り立つと仮定するならば，p_k+1 が成り立つ。