0がいくつ並ぶか

150! の最後に0がいくつ並ぶか。

150! を素因数分解したときの 2 と 5 の因数の個数で決まる。

2 は十分多いので，5 の因数の個数で決まる。

150! = 5ⁿ × a   (a は 5 と互いに素) と表したときの，
n といってもよい。

1から150までの整数のうち 5の倍数の個数を数えることに近い。

1から150までの整数のうち
150 = 5 × 30 だから，5の倍数は30個ある。
5の因数の個数は 30 より大きい。

25, 50, 75, 100, 150 は，
それぞれ 5 の因数をちょうど 2つもつ。
125は， 5 の因数をちょうど 3つもつ。

したがって，150! は 5の因数を 37 個もつ。
ゆえに，150! の末尾には 0が 37個並ぶ。

1から150までの整数のうち
5の倍数，
5²の倍数，
5³の倍数
それぞれの個数の和に等しい。

150 = 5 × 30
150 = 25 × 6
150 = 125 × 1 + 25

よって， 30 + 6 + 1 = 37 (個) である

150 の 5進法表現 と密接な関係がある。
150 = 5³ + 5²