151119初版 160104 更新
y は x の関数であるとは，
2つの集合A, Bがあって，
AからBへの対応が，
Aのある元 x ひとつに対して，
Bの元 y がひとつだけ結びついている状態のこと。
であった。
| \(x\) |
\(a_1\) |
\(a_2\) |
\(a_3\) |
| \(y\) |
\(b_1\) |
\(b_2\) |
\(b_3\) |
この対応を関数\(y=f(x)\)
| \(x\) |
\(b_1\) |
\(b_2\) |
\(b_3\) |
| \(y\) |
\(c_1\) |
\(c_2\) |
\(c_3\) |
この対応を関数\(y=g(x)\)とするとき，
| \(x\) |
\(a_1\) |
\(a_2\) |
\(a_3\) |
| \(y\) |
\(c_1\) |
\(c_2\) |
\(c_3\) |
この対応を\(f\)と\(g\)の合成関数といい，
\((g\circ f)(x)\)とかく。\((g\circ f)(x)=g\left(f(x)\right)\)である。
注意が2つある。
ひとつは，
上の例は，さも\(f\)と\(g\)がつながっているように\(a_1\)などを設定しているが，
実際には，\(f(a)=b\)とすると，
\(b\)を\(g(x)\)の定義域の中から探して，\(g(b)\)を求めている。
ふたつめは，
つまり，\(g(x)\)の定義域は\(f(x)\)の値域を含むべきだと考えられていること，
でなければ，\(g\circ f\)は定義すべきではないと考えられていること。
でも，実際には\(f(x)\)の定義域が制限されるだけではないかということ。
\(f(x)=x-2\), \(g(x)=x^2+1\)とするとき，
\((g\circ f)(x)=(x-2)^2+1\)
\((f\circ g)(x)=x^2-1\)
| \(x\) |
\(-2\) |
\(-1\) |
\(0\) |
\(1\) |
\(2\) |
\(3\) |
| \(f(x)\) |
\(-4\) |
\(-3\) |
\(-2\) |
\(-1\) |
\(0\) |
\(1\) |
| \(x\) |
\(-2\) |
\(-1\) |
\(0\) |
\(1\) |
\(2\) |
\(3\) |
| \(g(x)\) |
\(5\) |
\(2\) |
\(1\) |
\(2\) |
\(5\) |
\(10\) |
| \(x\) |
\(-2\) |
\(-1\) |
\(0\) |
\(1\) |
\(2\) |
\(3\) |
| \((g\circ f)(x)\) |
\(17\) |
\(10\) |
\(5\) |
\(2\) |
\(1\) |
\(2\) |
| \(x\) |
\(-2\) |
\(-1\) |
\(0\) |
\(1\) |
\(2\) |
\(3\) |
| \((f\circ g)(x)\) |
\(3\) |
\(0\) |
\(-1\) |
\(0\) |
\(3\) |
\(8\) |
\(f(x)=x+1\), \(g(x)=\sqrt{x}\)とするとき，
\((g\circ f)(x)=\sqrt{x+1}\)
\((f\circ g)(x)=\sqrt{x}+1\)
| \(x\) |
\(-2\) |
\(-1\) |
\(0\) |
\(1\) |
\(2\) |
\(3\) |
| \(f(x)\) |
\(-1\) |
\(0\) |
\(1\) |
\(2\) |
\(3\) |
\(4\) |
| \(x\) |
\(-2\) |
\(-1\) |
\(0\) |
\(1\) |
\(2\) |
\(3\) |
| \(g(x)\) |
nil |
nil |
\(0\) |
\(1\) |
\(\sqrt{2}\) |
\(\sqrt{3}\) |
| \(x\) |
\(-2\) |
\(-1\) |
\(0\) |
\(1\) |
\(2\) |
\(3\) |
| \((g\circ f)(x)\) |
nil |
\(0\) |
\(1\) |
\(\sqrt{2}\) |
\(\sqrt{3}\) |
\(2\) |
| \(x\) |
\(-2\) |
\(-1\) |
\(0\) |
\(1\) |
\(2\) |
\(3\) |
| \((f\circ g)(x)\) |
nil |
nil |
\(1\) |
\(2\) |
\(\sqrt{2}+1\) |
\(\sqrt{3}+1\) |