数列の極限

例1
\(\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\dfrac{2n-1}{n^2+1}=0}\)
実際
\(\dfrac{2n-1}{n^2+1}\) \(=\dfrac{\frac{2}{n}-\frac{1}{n^2}}{1+\frac{1}{n^2}}\)

例2
\(\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\dfrac{3n^2-5}{n^2+n+1}=3}\)
実際
\(\dfrac{3n^2-5}{n^2+n+1}\) \(=\dfrac{3-\frac{5}{n^2}}{1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}\)
次のような変形による説明もある。
\(\dfrac{3n^2-5}{n^2+n+1}\) \(=3+\dfrac{-3n-8}{n^2+n+1}\)

例3
\(\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}(\sqrt{n^2+n}-n)=\dfrac{1}{2}}\)
実際
\(\sqrt{n^2+n}-n\) \(=\dfrac{n}{\sqrt{n^2+n}+n}\) \(=\dfrac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1}\)
次のような変形による説明もある。
\(n^2+n=\left(n+\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{1}{4}\) だから
十分大きな n について， \(\sqrt{n^2+n}\) は \(n+\dfrac{1}{2}\) に，ほとんど等しい。