無限等比級数の和

数列 {a_n} があるとき，
\(\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty a_n = a_1+a_2+a_3+\cdots}\) を
数列 {a_n} の無限級数という。

無限級数の和は，
部分和 \(\left(\displaystyle{S_n = \sum_{k=1}^n a_k}\right)\)  の数列 {S_n} の極限と定義する。

数列 {a_n} が
初項 a, 公比 r の等比数列である場合を考える。

どんな r についても無限級数は収束して，和は 0

S_n = na だから， 無限級数の和は 発散する。

\(S_n = \dfrac{a-ar^n}{1-r}\)

|r| > 1 のとき，無限級数の和は発散する。

|r| < 1 のとき，無限級数の和は収束して，
\(\dfrac{a}{1-r}\)