MathJaxがあまりにいいので,
調子に乗って書いてみる
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2年理数科の諸君の数学はいい感じだな。
普通科にはがんばってもらいたい。
理数科の諸君は英語をがんばってもらいたい。
さて,
\(f(x)=3\cdot 4^x-2^{x+3}\)
という式を見たとき,何をしたくなるか。
まあ,微分は使わないとする。
\(x\)が大きくなるとき,第1項は増加,第2項は減少だから,
項を纏めたい。ということは2次式の平方完成か。
これを使う。
この部分は
指数関数の仕事である。
この2項に 2次式の平方完成 を適用して
ここで,\(0\leqq x\leqq 1\)より,\(1\leqq 2^x\leqq 2\)
この部分は指数関数の仕事である。
さらにこのとき,\(0\leqq 3\left(2^x-\dfrac{4}{3}\right)^2 \leqq \dfrac{4}{3}\)
最後の部分は\(2^x=\dfrac{4}{3}\)なので,
対数関数の仕事である。
次に,\(\log_2 x+\log_2y\)の最大値という問題を見てみよう。
対数の問題では大前提がある。
それは真数は正の数だという絶対的な前提である。
この問題は一見不要なようだが,あとでみてみることにする。
これで☆のない答案はどうだろうか。
それは\(xy\)の最大値が8である保障がなくなってしまう。
\(y\)に制限がなければ確かに最大値は8なのだが,
\( 3 < y <4\)だったりすれば\( 0 < xy < 6\)となってしまう。
厳しくいうと必要なのである。