いわゆる互除法 121009

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いいところ

不定方程式と互除法

最近は，数学Aにユークリッドの互除法がある。
課題学習に，なんて言っているが，どうだろうか。
ただのアルゴリズムだけで，感動があるだろうか。
だから何なのということにならないだろうか。

このごろは，
実験からそこに秘められた数理を探る。
なぜその理論ができたのか必要性を数学史や科学史で紐解く。
という授業展開を考えている。

\(y=\dfrac{32}{45}x+\dfrac{1}{9}\)
\(\left(0,\dfrac{1}{9}\right)\)から，点をこの直線上，右に打ち出して，
最初に通る格子点の座標を求めたい。

\(45y-5=32x\)　(\(y\), \(x\)は整数)
\(x\)でもよいが，\(y\)のほうが小さくてすむので， \(y\)について考える。

\(y=1\)のとき，\(x=\dfrac{40}{32}=1+\dfrac{8}{32}\)　格子点から右に\(\dfrac{8}{32}\)ずれている
\(y=2\)のとき，\(x=\dfrac{85}{32}=2+\dfrac{21}{32}\)　格子点から右に\(\dfrac{21}{32}\)ずれている　 (格子点から左に\(\dfrac{11}{32}\)ずれている)
\(y=3\)のとき，\(x=\dfrac{130}{32}=4+\dfrac{2}{32}\)　格子点から右に\(\dfrac{2}{32}\)ずれている

余りの考えの大切さを分かってほしい。
整数部分と小数部分の話題でも，結局余りの話であるし，
連分数や\(n\)進数展開も同じはしたの考えである。
それは，いずれ別の機会に載せることにする。
根底に流れる思想は同じなのである。

お分かりの通り，\(y\)がひとつ増えるたびに， \(x\)は格子点に\(\dfrac{13}{32}\)だけ近づく。
この13は45を32で割った余りである。
だから，

\(45y-5=32x\)　(\(y\), \(x\)は整数)を満たす解を求めることと
\(13y-5=32y_1\)　(\(y_1\), \(y\)は整数)を満たす解を求めること
つまり\(32y_1+5=13y\)　(\(y_1\), \(y\)は整数)を満たす解を求めること
は，同じことなのである。

\(y\)	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
\(45y\) (mod 32)	13	26	7	20	1	14	27	8	21	2
\(45y-5\) (mod 32)	8	21	2	15	28	9	22	3	16	29

\(y\)	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
\(45y\) (mod 32)	15	28	9	22	3	16	29	10	23	4
\(45y-5\) (mod 32)	10	23	4	17	30	11	24	5	18	31

\(y\)	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32
\(45y\) (mod 32)	17	30	11	24	5	18	31	12	25	6	19	0
\(45y-5\) (mod 32)	12	25	6	19	0	13	26	7	20	1	14	27

こういう様子を，計算で実験してそれをもとに推論し理論とすることが，
数学的活動なのではないかと思っている。

\(y_1\)	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
\(32y_1\) (mod 13)	6	12	5	11	4	10	3	9	2	8	1	7	0
\(32y_1+5\) (mod 13)	11	4	10	3	9	2	8	1	7	0	6	12	5

\(y_2\)	1	2	3	4	5	6
\(13y_2\) (mod 6)	1	2	3	4	5	0
\(13y_2-5\) (mod 6)	2	3	4	5	0	1

13×5-5=6×10
32×10+5=13×25
45×25-5=32×35

これって，互除法だよね。
最初に32分のいくつで見ているということは，
32分の1スケールの正方形で見て，
整数1進むということと，45と13の関係を考えてみよう。
これが，45:32じゃなくて，45:17だったら，11というのが鍵になる。
整数と有理数の話はほとんど同じである。

長方形ビリヤードは?
縦と横の比が有理数であったら，正方形ビリヤードと同じはず。
縦横比が無理数，特に2次の代数的数だったら面白いと思う。