\(0 \leqq \alpha \leqq \pi\)として
\(\sin\alpha=\cos 2\beta\)
を満たすβについて考えよう。ただし，\(0\leqq\beta\leqq\pi\)とする。

表1

α	0	…	α	…	\(\dfrac{\pi}{2}\)	…	π-α	…	π
\(\sin\alpha\)	0	↗	k	↗	1	↘	k	↘	0

表2

β

0

…

β

…

\(\dfrac{\pi}{4}\)

…

\(\dfrac{\pi}{2}-\beta\)

…

\(\dfrac{\pi}{2}\)

…

\(\dfrac{\pi}{2}+\beta\)

…

\(\dfrac{3}{4}\pi\)

…

π-β

…

π

\(\cos 2\beta\)

1

↘

k

↘

0

↘

-k

↘

-1

↗

-k

↗

0

↗

k

↗

1

たとえば，\(\alpha=\dfrac{\pi}{6}\)のとき， \(\sin\alpha=\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{1}{2}\)だから，
\(\cos 2\beta=\dfrac{1}{2}\)を満たすβのとり得る値は，
ひとつは，\(\beta_1=\dfrac{\pi}{6}\),   もうひとつは，\(\beta_2=\pi-\beta_1=\dfrac{5}{6}\pi\)の 二つである。

このように(cf. 表2)， αの各値に対して，βのとり得る値は二つある。
そのうちの小さい方を\(\beta_1\)，大きい方を\(\beta_2\)とすると，
\(\beta_2=\pi-\beta_1\),  \(0\leqq\beta_1\leqq\dfrac{\pi}{2}\) が 成り立つ。

\(y=\sin\left(\alpha+\dfrac{\beta_1}{2}+\dfrac{\beta_2}{3}\right)\)
が最大となるαの値とそのときの y の値を求めよう。
\(\theta=\alpha+\dfrac{\beta_1}{2}+\dfrac{\beta_2}{3}\) とおく。

\(\beta_1\),  \(\beta_2\) をαを用いて表そう。

\(0\leqq\alpha < \dfrac{\pi}{2}\)とする。
表1において， あるαに対して，\(k=\sin\alpha\)とおく。
表2において， \(\cos 2\beta_1=k\) なる \(0\leqq\beta_1\leqq\dfrac{\pi}{2}\)は，  (実は，\(0\leqq\beta_1\leqq\dfrac{\pi}{4}\))
また，余角の公式により， \(\cos 2\beta_1=\sin \left(\dfrac{\pi}{2}-2\beta_1\right)\)
\(\dfrac{\pi}{2}-2\beta_1=\alpha\)より， \(\beta_1=\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\alpha}{2}\)
ここで述べたように， \(\beta_2=\pi-\beta_1=\dfrac{3}{4}\pi+\dfrac{\alpha}{2}\)

\(\dfrac{\pi}{2}\leqq\alpha\leqq\pi\)とする。
表1において， あるαに対して，\(k=\sin\alpha\)とおく。
表2において， \(\cos 2\beta_1=k\) なる \(0\leqq\beta_1\leqq\dfrac{\pi}{2}\)は，  (実は，\(0\leqq\beta_1\leqq\dfrac{\pi}{4}\))
また，余角の公式により， \(\cos 2\beta_1=\sin \left(\dfrac{\pi}{2}-2\beta_1\right)\)
\(\dfrac{\pi}{2}-2\beta_1=\pi-\alpha\)より， \(\beta_1=-\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\alpha}{2}\)
ここで述べたように， \(\beta_2=\pi-\beta_1=\dfrac{5}{4}\pi-\dfrac{\alpha}{2}\)

\(0\leqq\alpha < \dfrac{\pi}{2}\)のとき，
\(\theta=\alpha+\dfrac{\beta_1}{2}+\dfrac{\beta_2}{3}\) \(=\alpha+\dfrac{\pi}{8}-\dfrac{\alpha}{4}+\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\alpha}{6}\) \(=\dfrac{22\alpha+9\pi}{24}\)
だから， \(\dfrac{3}{8}\pi\leqq \theta < \dfrac{5}{6}\pi\)

\(\dfrac{\pi}{2}\leqq\alpha\leqq\pi\)のとき，
\(\theta=\alpha+\dfrac{\beta_1}{2}+\dfrac{\beta_2}{3}\) \(=\alpha-\dfrac{\pi}{8}+\dfrac{\alpha}{4}+\dfrac{5}{12}\pi-\dfrac{\alpha}{6}\) \(=\dfrac{26\alpha+7\pi}{24}\)
だから， \(\dfrac{5}{6}\pi\leqq \theta \leqq \dfrac{11}{8}\pi\)

よって， \(0\leqq\alpha\leqq\pi\)のとき，
\(\dfrac{3}{8}\pi\leqq \alpha+\dfrac{\beta_1}{2}+\dfrac{\beta_2}{3} \leqq \dfrac{11}{8}\pi\)

\(\dfrac{3}{8}\pi\leqq \theta \leqq \dfrac{11}{8}\pi\)のとき， \(\theta=\dfrac{\pi}{2}\)で y は最大となり
こちら すなわち\(0\leqq\alpha < \dfrac{\pi}{2}\)のとき
\(\theta=\dfrac{22\alpha+9\pi}{24}=\dfrac{\pi}{2}\)

y が最大となるαの値は\(\dfrac{3}{22}\pi\) であり，
そのときの y の値は1であることがわかる。