彼らが I 高校で計算していたことをもとに， ガロア風の3次方程式の解法を展開してみます。 彼らが学んだことを使って，私が独自に解法を再発見してみます。 「再発見」は， 高校生やその周囲にいる私たちが課題研究をする， 指導するうえでのキーワードだと感じています。
　3次方程式の根を x₁, x₂, x₃ として， y₁, y₂ を，
\(y_1={x_1}^2x_2+{x_2}^2x_3+{x_3}^2x_1\),   \(y_2={x_1}^2x_3+{x_2}^2x_1+{x_3}^2x_2\)
とおきます。
y₁, y₂ それぞれは A₃ = C₃ = {id, (1 2 3), (1 3 2)} で不変なことに 注意してください。 でも，例えば y₁ は (2 3) によって， y₂ に移りますから，S₃ では不変ではありません。

\(x_1+x_2+x_3=a_1\),   \(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=a_2\),   \(x_1x_2x_3=a_3\)
とおきます。根と係数の関係から x₁ たちは
3次方程式 \(x^3-a_1x^2+a_2x-a_3=0\) の根になります。
\(b_1=y_1+y_2\), \(b_2=y_1y_2\) を考えます。
b₁, b₂ はそれぞれ展開すると x_i の S₃ の作用で不変になります。 つまり，基本対称式 a₁ たちで 書くことができます。
実際， \(b_1=a_1a_2-3a_3\),   \(b_2=9{a_3}^2+{a_1}^3a_3-6a_1a_2a_3+{a_2}^3\)
結構しんどい計算です。 対称式の計算が楽しくなります。

　さて，\(x^3-3x-1=0\) を解いてみます。 \((a_1,a_2,a_3)=(0,-3,1)\)
\((b_1,b_2)=(-3,-18)\)
すなわち， y₁, y₂ は， \(y^2+3y-18=0\) の根になります。
これは， -6, 3 という有理数(!)の根をもちます。
このことは，この方程式のガロア群が 3次巡回群だと いうことを物語っています。

　この先の方法を1つ紹介しましょう。 ラグランジュ・リゾルベントを使います。(だったら最初から(笑))
\(3\alpha_1=x_1+x_2+x_3\)
\(3\alpha_2=x_1+x_2\omega+x_3\omega^2\)
\(3\alpha_3=x_1+x_2\omega^2+x_3\omega\)
とおいて，ω や ω² などを上手に掛けてあげると，
\(x_1=\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3\)
\(x_2=\alpha_1+\alpha_2\omega^2+\alpha_3\omega\)
\(x_3=\alpha_1+\alpha_2\omega+\alpha_3\omega^2\)
となります。 ここで ω はもちろん1の原始3乗根です。 α₁ たちを求めてみましょう。
ちょっと手を動かすと，
\(y_1={x_1}^2x_2+{x_2}^2x_3+{x_3}^2x_1\) \(=3({\alpha_1}^3+{\alpha_2}^3\omega^2+{\alpha_3}^3\omega)\)
\(y_2={x_1}^2x_3+{x_2}^2x_1+{x_3}^2x_2\) \(=3({\alpha_1}^3+{\alpha_2}^3\omega+{\alpha_3}^3\omega^2)\)
である(!)ことが分かります。
\(x_1+x_2+x_3=3\alpha_1\) ですから，今の場合，
\(\alpha_1=0\),   \({\alpha_2}^3\omega^2+{\alpha_3}^3\omega=-2\),   \({\alpha_2}^3\omega+{\alpha_3}^3\omega^2=1\)
ここで，ちょっと便利な公式
を使うと，
\({\alpha_2}^3=-\omega\),   \({\alpha_3}^3=-\omega^2\)
となります。
すなわち，ζ を 1 の原始18乗根として， 3つの根は
\(\zeta+\zeta^{-1}\),   \(\zeta^5+\zeta^{-5}\),   \(\zeta^7+\zeta^{-7}\)
となるのです。