a, b が互いに素であるとき、
\(a^2+b^2\) は 2 以外の素因数をもつ。…①

a, b のどちらか一方が偶数で、他方が奇数ならば、
\(a^2+b^2\) は奇数だから、 ① が成り立つことがいえた。

a, b が ともに奇数のとき、
整数k, l を用いて、 a = 2k + 1, b = 2l + 1 と表す。
このとき、\(a^2+b^2=4(k^2+l^2+k+l)+2\) \(=2(2(k^2+l^2+k+l)+1))\)
ここで、\(2(k^2+l^2+k+l)+1\) は奇数だから、
① が成り立つことがいえた。