120623 初版
MathJaxがあまりにいいので，
調子に乗って書いてみる
SVGファイルはFirefox Chrome Operaなどでご覧ください
漸化式 その3 つづき
前のページ
\(a_{n+1}=ra_n+pn+q\)
(\(p,q,r\)はもちろん定数)
の形の漸化式を解いてみよう。
漸化式を帰納的に展開して行くと
\(a_{n}=ra_{n-1}+pn+q-p\)
\(=r\left(ra_{n-2}+pn+q-2p\right)+pn+q-p=r^2a_{n-2}+(pn+q)(r+1)-p(2r+1)\)
\(=r^2\left(ra_{n-3}+pn+q-3p\right)+(pn+q)(r+1)-p(2r+1)
=r^3a_{n-3}+(pn+q)(r^2+r+1)-p(3r^2+2r+1)\)
したがって，一般に次の式が予想できる
\(\displaystyle{a_{n}=a_{1}r^{n-1}
+(pn+q)\sum_{k=1}^{n-1}r^{k-1}
-p\sum_{k=1}^{n-1}kr^{k-1}}\) … ☆
実際，この式を仮定すると
\(\displaystyle{a_{n+1}=ra_{n}+pn+q
=r\left(a_{1}r^{n-1}
+(pn+q)\sum_{k=1}^{n-1}r^{k-1}
-p\sum_{k=1}^{n-1}kr^{k-1}\right)+pn+q}\)
\(\displaystyle{
=a_{1}r^{n}
+(pn+q)\left(1+\sum_{k=1}^{n-1}r^{k}\right)
-p\sum_{k=1}^{n-1}kr^{k}}\)
\(\displaystyle{
=a_{1}r^{n}
+(pn+q)\sum_{k=1}^{n}r^{k-1}
-p\sum_{k=1}^{n}(k-1)r^{k-1}
}\)
\(\displaystyle{
=a_{1}r^{n}
+\left(p(n+1)+q\right)\sum_{k=1}^{n}r^{k-1}
-p\sum_{k=1}^{n}kr^{k-1}}\)
だから，帰納法によりこの予想は正しい。
等差×等比型の考察により
\(\displaystyle{
T_n=\sum_{k=1}^nr^{k-1}}\),
\(\displaystyle{
U_n=\sum_{k=1}^nkr^{k-1}}\)
とおくと，
\(\displaystyle{
U_n=\frac{1}{r-1}\left(n\cdot r^n-T_n\right)}\)
だったから，
\(\displaystyle{a_{n}=a_{1}r^{n-1}
+\left(\left(pn+q\right)+\frac{p}{r-1}\right)T_{n-1}
-\frac{p(n-1)}{r-1}\cdot r^{n-1}}\)
\(\displaystyle{=\left(a_{1}
+\frac{p+q}{r-1}+\frac{p}{(r-1)^2}\right)r^{n-1}
-\frac{pn+q}{r-1}-\frac{p}{(r-1)^2}}\)
☆の式が一番きれいだと思う。
等差×等比型のときもそうだが，
式変形から，Σの教科書にない性質を学んでほしい。
謙虚にアイディアを覚えて(覚えられるのはすばらしい)，
忠実に計算すること(正解に辿り着けるのはすごいこと)も大切なことだとは思うが，
帰納的に展開→予想→帰納法で証明→詳細な計算
という手法は万能である。