121129 初版
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いわゆる群数列の問題について考察してみます。
1 | 3,5 | 7,9,11 | 13,15,17,19 | 21…
のように，奇数の列に1個，2個，3個，4個，…と区切りを入れる。
群数列の第1定理
| 群 |
|
値 |
|
|
通し番号 |
|
項数 |
| \(n-1\) |
\(A_{n-1,1}\) | ～ | |
\(H_{n-1}\) | ～ | \(T_{n-1}\) |
\(L_{n-1}\) |
| \(n\) |
\(A_{n,1}\) | ～ | |
\(H_{n}\) | ～ | \(T_{n}\) |
\(L_{n}\) |
ある群の初項(Head)の通し番号\(H_n\)は，前群の末項(Tail)の通し番号\(T_{n-1}\)の次である。
\(H_n=T_{n-1}+1\)
群数列の第2定理
| 群 |
|
値 |
|
|
通し番号 |
|
項数 |
| 1 |
\(A_{1,1}\) | ～ | |
\(H_{1}\) | ～ | \(T_{1}\) |
\(L_{1}\) |
| 2 |
\(A_{2,1}\) | ～ | |
\(H_{2}\) | ～ | \(T_{2}\) |
\(L_{2}\) |
| … |
| … | |
| … | |
… |
| \(n-1\) |
\(A_{n-1,1}\) | ～ | |
\(H_{n-1}\) | ～ | \(T_{n-1}\) |
\(L_{n-1}\) |
| \(n\) |
\(A_{n,1}\) | ～ | |
\(H_{n}\) | ～ | \(T_{n}\) |
\(L_{n}\) |
ある群の末項(Tail)の通し番号\(T_n\)は，その群までの各群における項数の和である。
\(T_n=L_1+L_2+\cdots+L_{n-1}+L_n\)
Σを使うと\(\displaystyle{T_n=\sum_{k=1}^n\ L_k}\)
| 群 |
|
値 |
|
|
通し番号 |
|
項数 |
| 1 |
1 | ～ | 1 |
1 | ～ | 1 |
1 |
| 2 |
3 | ～ | 5 |
2 | ～ | 3 |
2 |
| 3 |
7 | ～ | 11 |
4 | ～ | 6 |
3 |
| 4 |
13 | ～ | 19 |
7 | ～ | 10 |
4 |
| … |
| … | |
| … | |
… |
| \(n-1\) |
\(A_{n-1,1}\) | ～ | |
\(H_{n-1}\) | ～ | \(T_{n-1}\) |
\(L_{n-1}\) |
| \(n\) |
\(A_{n,1}\) | ～ | |
\(H_{n}\) | ～ | \(T_{n}\) |
\(L_{n}\) |
問題の規則によって注目する順番が異なるが，
まずは，各群の
項数か。
群数列の問題は，覚えるというよりは，
この整理の方法を知って，あとは数列の総合問題と見るべきである。
| 群 |
|
値 |
|
|
通し番号 |
|
項数 |
| 1 |
1 | ～ | 1 |
1 | ～ | 1 |
1 |
| 2 |
3 | ～ | 5 |
2 | ～ | 3 |
2 |
| 3 |
7 | ～ | 11 |
4 | ～ | 6 |
3 |
| 4 |
13 | ～ | 19 |
7 | ～ | 10 |
4 |
| … |
| … | |
| … | |
… |
| \(n-1\) |
\(A_{n-1,1}\) | ～ | |
\(H_{n-1}\) | ～ | \(T_{n-1}\) |
\(n-1\) |
| \(n\) |
\(A_{n,1}\) | ～ | |
\(H_{n}\) | ～ | \(T_n\) |
\(n\) |
次は，群数列の
第2定理を使って，
群の末項の通し番号
\(T_n=1+2+3+\cdots+(n-1)+n=\dfrac{1}{2}n(n+1)\)
この結果は三角数の和なので覚えておいたほうがいい。
| 群 |
|
値 |
|
|
通し番号 |
|
項数 |
| 1 |
1 | ～ | 1 |
1 | ～ | 1 |
1 |
| 2 |
3 | ～ | 5 |
2 | ～ | 3 |
2 |
| 3 |
7 | ～ | 11 |
4 | ～ | 6 |
3 |
| 4 |
13 | ～ | 19 |
7 | ～ | 10 |
4 |
… |
| … | |
| … | |
… |
\(n-1\) |
\(A_{n-1,1}\) | ～ | |
\(H_{n-1}\) | ～ | \(\dfrac{1}{2}n(n-1)\) |
\(n-1\) |
| \(n\) |
\(A_{n,1}\) | ～ | |
\(H_{n}\) | ～ | \(\dfrac{1}{2}n(n+1)\) |
\(n\) |
次は，群数列の
第1定理を使って，
群の初項の通し番号
| 群 |
|
値 |
|
|
通し番号 |
|
項数 |
| 1 |
1 | ～ | 1 |
1 | ～ | 1 |
1 |
| 2 |
3 | ～ | 5 |
2 | ～ | 3 |
2 |
| 3 |
7 | ～ | 11 |
4 | ～ | 6 |
3 |
| 4 |
13 | ～ | 19 |
7 | ～ | 10 |
4 |
| … |
| … | |
| … | |
… |
| \(n-1\) |
\(A_{n-1,1}\) | ～ | |
\(H_{n-1}\) | ～ | \(\dfrac{1}{2}n(n-1)\) |
\(n-1\) |
| \(n\) |
\(A_{n,1}\) | ～ | |
\(\dfrac{1}{2}n(n-1)+1\) | ～ | \(\dfrac{1}{2}n(n+1)\) |
\(n\) |
つづく