131024 初版 131024 更新
(a+b)n の展開式において、係数を順に並べてできる三角形を
パスカルの三角形という。
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1 |
(a+b)n の arbn-r の係数を nKr とかく。
例えば，
| (a+b)3 |
a3 |
a2b |
ab2 |
b3 |
| 係数の記号 |
3K3 |
3K2 |
3K1 |
3K0 |
| 係数 |
1 |
3 |
3 |
1 |
| (a+b)4 |
a4 |
a3b |
a2b2 |
ab3 |
b4 |
| 係数の記号 |
4K4 |
4K3 |
4K2 |
4K1 |
4K0 |
| 係数 |
1 |
4 |
6 |
4 |
1 |
- 両端は1 nKn = nK0 = 1
- 左右対称 nKr = nKn-r
- r≧2のとき
nKr = n-1Kr-1 + n-1Kr
3つめは例えば，
4K3 = 3K2 + 3K3
ということ
(a+b)n の arbn-r の係数を nKr とかいたが、
実は、nKr = nCr
なぜなら、
例えば、
(a+b)
5 の a
3b
2 の項は、
aaabb,
aabab,
aabba,
abaab,
ababa,
abbaa,
baaab,
baaba,
babaa,
bbaaa の同じものを含む順列で表されるが、
これは
組合せと同型である。
というわけで、
組合せの総数 nCr は二項係数とも呼ばれる。