直線 y=2x に関して P(x, y) と対称な点 P′(x′,y′)
を求める。
方法2
正射影の考えを使う。
線分PP′と直線 y=2x の交点をHとすると，
直線OH の方向ベクトルは (1, 2) だから
\(\overrightarrow{\rm OH}=k(1,2)\)
\(\left|\overrightarrow{\rm OH}\right|=\sqrt{5}k\)
また，
直角三角形OPH において，∠POH=θ とおくと，
\(\cos\theta
=\dfrac{\overrightarrow{\rm OP}\cdot\overrightarrow{\rm OH}}
{\left|\overrightarrow{\rm OP}\right|\left|\overrightarrow{\rm OH}\right|}\)
\(=\dfrac{x+2y}
{\sqrt{5}\left|\overrightarrow{\rm OP}\right|}\)
三角比の定義によって
\({\rm OH}={\rm OP}\cos\theta
=\dfrac{x+2y}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}k\),
\(k=\dfrac{x+2y}{5}\)
すなわち
\(\overrightarrow{\rm OH}=\dfrac{x+2y}{5}(1,2)\)
H は線分PP′ の中点だから，
\(\left(\dfrac{x+x^\prime}{2},\dfrac{y+y^\prime}{2}\right)
=\dfrac{x+2y}{5}(1,2)\)
\(
\left(\begin{array}{c}
x^\prime \cr
y^\prime \cr
\end{array}\right)
=
\dfrac{1}{5}
\left(\begin{array}{c}
-3x+4y\cr
4x+3y\cr
\end{array}\right)
=\dfrac{1}{5}\left(\begin{array}{cc}
-3 & 4\cr
4 & 3\cr
\end{array}\right)
\left(\begin{array}{c}
x\cr
y\cr
\end{array}\right)
\)