170121 初版 170121 更新
仮定
O(0, 0),
B\((1,\sqrt{3})\),
C\((-1,\sqrt{3})\),
E\((-1,-\sqrt{3})\),
F\((1,-\sqrt{3})\)
線分BF 上に点P(1, a) をとって，
点Pから直線CE に引いた垂線と，
点Cから直線EP に引いた垂線の交点をH とする。
結論
三角形OPH は OH = PH の二等辺三角形である。
さらに，
OP と OH のなす角を θ とすると，
OP と x軸の正の部分とのなす角も θ である。
実際
\(\overrightarrow{\rm EP}=(2, a+\sqrt{3})\)
H(x. a) とおくと，
\(\overrightarrow{\rm CH}=(x+1, a-\sqrt{3})\)
\(\overrightarrow{\rm EP}\cdot\overrightarrow{\rm CH}=0\)
だから，\(x=\dfrac{1-a^2}{2}\)
H\(\left(\dfrac{1-a^2}{2},a\right)\) で a を媒介変数とみて，
Hは放物線 y2 = 1 - 2x 上の点である。
また，\({\rm OH} = \dfrac{1+a^2}{2}\),
\({\rm PH} = \dfrac{1+a^2}{2}\)
すなわち，OH = PH
PH は x 軸と平行だから，後半もいえた。
H は 点O を焦点, 直線BF を準線とする放物線上の点である。
どうやら元ネタは
垂心の軌跡