160528 初版 161103 更新
平らな広がりが平面です。
実数 の大小関係をつかって，2つの実数の組 (x, y) で点の位置を表します。
一つめの実数で東西の位置を，二つめの実数で南北の位置を表します。
東西の位置を決める軸を x 軸，南北の位置を決める軸を y 軸といいます。
2つの座標軸の交点が 原点 といわれるものです。
この実数の組で平らな広がりを表現することができます。
2点の位置関係を述べるにはベクトルの考えが便利です。
平らな紙を床において天井から見ているとします。
例えば，座標平面上に2点A(-3, 1) と B(1, -5) があったとします。
A からみると，B は右(東)に 4, 下(南)に 6 のところにあります。
記号では \(\overrightarrow{\rm AB}=(4,-6)\) と表されます。
AB を斜辺として，直角を挟む2辺の長さが4, 6 である直角三角形を考えます。
AB を対角線とする横4, 縦 6 の長方形といってもいいです。
斜辺の長さは \(2\sqrt{13}\) です。
この線分の長さを2点 A, B 間の距離といいます。
A(3, -1), B(8, 3) において，点\((6, \dfrac{7}{5})\) は
線分AB を 3 : 2 に内分する点です。
点(18, 11) は
線分AB を 3 : 2 に外分する点です。
ベクトルの考えを使って，
\(\dfrac{2}{5}(3,-1)+\dfrac{3}{5}(8,3)\) で，この内分点を，
\((-2)(3,-1)+3(8,3)\) で，この外分点の座標を計算することができます。
一般に A\((x_1,y_1)\), B\((x_2,y_2)\) で，線分AB を 3 : 2 に内分する点は，
\((x_1,y_1)+\dfrac{3}{5}(x_2-x_1,y_2-y_1)\) ですから，
\(\dfrac{2}{5}(x_1,y_1)+\dfrac{3}{5}(x_2,y_2)\) となります。
x, y の方程式(x, y の関係式) を満たす点の集合で
図形を表すことを考えます。
例えば，x, y の1次方程式 3x - 4y + 6 = 0 は平面上の
直線を表します。
例えば，x, y の2次方程式
x
2 + y
2 - 2x + 4y - 2 = 0 は
円を表します。
方程式を満たす点を集めて図形ができているとみることもできますし，
方程式によって，点が縛られている，制限されているとみることもできます。
例えば，平面上で 方程式 x = 2 の表す図形は，
x は 2 に制限されている,
y は 制限なく自由にとれる ので，
点(2, 0) を通り x 軸に垂直な直線 となります。
x, y の方程式は図形を表しますが，
それ以外の定数 k を含むと方程式は
図形群を表すことになります。