2直線の位置関係 220318
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2直線の平行条件を考えてみましょう。
傾きの定義により、傾きが存在すれば、
2直線が平行である必要十分条件は、傾きが等しい となります。
2直線の垂直条件を考えてみましょう。
原点O, 点A をとって、
点A を原点を中心に回転してみます。
A から、x 軸, y 軸に垂線を下し、長方形OBAC を回転した様子を考察します。
最初のA を A0,
90度回転させた後のA を A1 とします。
A0 (a, b) とすると
A1 (-b, a) であることが分かります。
直線OA0 の傾きを \(m\) とすると、
直線OA1 の傾きは \(-\frac{1}{m}\) です。
傾きが存在すれば、
2直線が垂直である必要十分条件は、傾きの積が \(-1\) となります。
A(x1, y1) は、
直線 ℓ: ax + by + c = 0 上にあると仮定します。
このとき、点B (x1 - b, y1 + a) が
ℓ 上の点であることは、次のようにして分かります。
\(a(x_1-b)+b(y_1+a)+c\)
\(=ax_1-ab+by_1+ab+c\)
\(=ax_1+by_1+c\)
仮定より、この値は 0 ですから、
B はℓ 上の点であることがいえました。
直線上の任意の2点を結ぶ有向線分を、
その直線の方向ベクトルといいます。
いま、点A から 点B への有向線分を
成分を (-b, a) を成分とするベクトルといいます。
ベクトル (-b, a) は 直線ℓ の方向ベクトルの一つです。
直線 ax + by + c = 0 を ℓ1 とします。
ℓ1 に対して、
直線 bx - ay + c' = 0 を ℓ2 とします。
ℓ1 の方向ベクトルは (-b, a)、
ℓ2 の方向ベクトルは (a, b) ですから、
ℓ1 と ℓ2 は垂直であることが分かります。
直線と垂直な有向線分を、その直線の法線ベクトルといいます。
ベクトル (a, b) は 直線ℓ1の法線ベクトルの一つです。