ほぼ毎日の演習 230228

東京大 2023
O を原点とする座標空間において、
不等式 |x|≦ 1, |y|≦ 1, |z|≦ 1 を表す立方体を考える。
その立方体の表面のうち、z< 1 を満たす部分をS とする。
(1) 座標空間内の点P が次の条件(i), (ii) を共に満たすとき、 点P が動きうる範囲V の体積を求めよ。
(i) $\mathrm{O}\mathrm{P}\leqq \sqrt{3}$
(ii) 線分OP と S は、共有点を持たないか、点P のみを共有点に持つ。
(2) 座標空間内の点N と点P が次の条件 (iii), (iv), (v) をすべて満たすとき、 点P が動きうる範囲W の体積を求めよ。
必要ならば、$\sin \alpha ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$ を満たす実数 $\alpha$ $(0<\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$ を用いてよい。
(iii) $\mathrm{O}\mathrm{N}+\mathrm{N}\mathrm{P}\leqq \sqrt{3}$
(iv) 線分ON と S は共有点を持たない。
(v) 線分NP と S は、共有点を持たないか、点P のみを共有点に持つ。