倍数に関する命題 220415

命題
\(n^2\) が 3の倍数である ならば \(n\) は 3の倍数である。… ①

証明
対偶 \(n\) が 3の倍数でない ならば \(n^2\) は 3の倍数でない。… ②
これが真であることを示す。
\(n\) が 3 の倍数でない ならば 整数 \(k\) があって、\(n=3k+1\) または \(n=3k+2\) と表される。
\(n=3k+1\) のとき、 \(n^2=3(3k^2+2k)+1\) であり、\(n^2\) は 3で割って 1余る数である。
\(n=3k+2\) のとき、 \(n^2=3(3k^2+4k+1)+1\) であり、\(n^2\) は 3で割って 1余る数である。
よって、元の命題の対偶② は真であることがいえた。
したがって、元の命題① は真であることがいえた。